§ 4. Биномиальное распределение

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех

66

лспытаниях постоянна и равна р (следовательно, вероят­ность непоявления <7=1—р). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число появлений со­бытия А в этих испытаниях.

Поставим перед собой задачу: найти закон распреде­ления величины X. Для ее решения требуется определить возможные значения X и их вероятности. Очевидно, событие А в п испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, ..., либо п раз. Таким образом, возможные значения X таковы: ^ = 0, Х₂=1, х₃ = 2, ..., х_п+1 = п. Остается найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно восполь­зоваться формулой Бернулли:

где k = 0, 1, 2 п.

Формула (*) и является аналитическим выражением искомого закона распределения.

Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «бино­миальным» потому, что правую часть равенства (*) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

(p + q)" = С"_пр» +Cⁿ_n-¹Pⁿ~¹q + • • • +С*_Ру-*+ • • • +О7^Я.

Таким образом, первый член разложения р" опреде­ляет вероятность наступления рассматриваемого события п раз в п независимых испытаниях; второй член np'^t^¹q определяет вероятность наступления события п—1 раз; ...; последний член q" определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.

Напишем биномиальный закон в виде таблицы:

X п л—1 ... k ... 0 Р р^п npⁿ~¹q ... C*p^kqⁿ-^k ... qⁿ

Пример. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины X — числа выпадений «герба».

Решение. Вероятность появления «герба» в каждом бросании монеты р = 1 /2, следовательно, вероятность непоявления «герба» 9=1 — 1/2=1/2.

При двух бросаниях монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения X таковы: *i = 2, x₂ = l, х₃ = 0. Найдем вероятности этих

67

возможных значений по формуле Бернулли: Р₂ (2) = Clp2 = (1/2)=» = 0,25, Р₂ (l) j

Р₂ (0) = CV = (1 /2)^а = 0,25. Напишем искомый закон распределения:

X 2 1 0

р 0,25 0,5 0,25

Контроль: 0,25 + 0,5 + 0,25=1.

§ 5. Распределение Пуассона

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Для определения вероятности к появлений со­бытия в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же п велико, то пользуются асимптотической фор­мулой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если вероятность события мала (p^O.l). В этих случаях (п велико, р мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Итак, поставим перед собой задачу найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз. Сделаем важное допущение: про­изведение пр сохраняет постоянное значение, а именно пр = Х. Как будет следовать из дальнейшего (см. гл. VII, § 5), это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т. е. при различных значениях п, остается неизменным.

Воспользуемся формулой Бернулли для вычисления интересующей нас вероятности:

Т ак как рп = 'К, то р = Ъ/п. Следовательно,

П риняв во внимание, что п имеет очень большое значе­ние, вместо Р„ (к) найдем lim P_n (k). При этом будет най-

n-t-cn

дено лишь приближенное значение отыскиваемой вероят­ности: п хотя и велико, но конечно, а при отыскания

68

предела мы устремим я к бесконечности. Заметим, что поскольку произведение пр сохраняет постоянное значе­ние, то при п—»-со вероятность р—>-0. Итак,

г(п— l)(n — 2)...[n — (k — I)] №

e

= тг lim 1-- • hm I—— =rr

^k] _л-« V п) _п__х \ п J ft!

Таким образом (для простоты записи знак приближен­ного равенства опущен),

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (п велико) и редких (р мало) событий.

Замечание. Имеются специальные таблицы, пользуясь кото­рыми можно найти Р„(6), зная k и К.

Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изде­лий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение. По условию, л = 5000, р — 0,0002, k = 3. Найдем к:

Я. = пр = 5000-0,0002=1. По формуле Пуассона искомая вероятность прибли>кеняб^равна

^бооо (3) = Я*е ~ *У*! = е - */3! = 1 /бе ^ 0,06.