§ 2. Локальная теорема Лапласа

Выше была выведена формула Бернулли, позво­ляющая вычислить вероятность того, что событие появится в п испытаниях ровно k раз. При выводе мы предпола­гали, что вероятность появления события в каждом испытании постоянна. Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях п достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Например, если «=50, & = 30, р = 0,1, то для отыскания вероятности Р_Б0 (30) надо вычислить выражение Р₅₀(30) =50!/(30!20!)-(0,1)³°.(0,9)²⁰, где 50! =30 414093-10⁶-⁷, 30! =26525286-10²⁵,20! = = 24 329 020-10¹¹. Правда, можно несколько упростить вычисления, пользуясь специальными таблицами лога­рифмов факториалов. Однако и этот путь остается громоздким и к тому же имеет существенный недостаток: таблицы содержат приближенные значения логарифмов, поэтому в процессе вычислений накапливаются погреш­ности; в итоге окончательный результат может значи­тельно отличаться от истинного.

Естественно возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается, можно. Локальная теорема Лапласа и дает асимптотическую *' формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в п испытаниях, если число испы­таний достаточно велико.

Заметим, что для частного случая, а именно для р= 1/2, асимптотическая формула была найдена в 1730 г. Муавром; в 1783 г. Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного р, отличного от 0 и 1. Поэтому тео­рему, о которой здесь идет речь, иногда называют теоремой Муавра—Лаплааг.^~~__

Доказательство локальной теоремьГПапласа довольно сложно, поэтому мы приведем лишь формулировку тео­ремы и примеры, иллюстрирующие ее использование.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность р появ­ления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Р„ (k) того,

* > Функцию ф (jc) называют асимптотическим приближением Функции /(*), если lim JJ^L=l.

х -*■ оо ф (X)

57

что событие А появится в п испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше п) значению функции

п ри x = (k q

Имеются таблицы, в которых помещены значения

функции <р (#) = —у=гъ.-^х%1^%, соответствующие положитель­ным значениям аргумента х (см. приложение 1). Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция ц>(х) четна, т. е. ф (—х)=ф(х). Итак, вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна

где x = (k—np)ly^rnpq.

Пример 1. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение. По условию, п = 400; ft = 80; р = 0,2; <7 = О,8. Вос­пользуемся асимптотической формулой Лапласа:

В ычислим определяемое данными задачи значение х: x=(k — np)/yHpq = (8Q — 400-0,2)/8 = 0.

По таблице приложения 1 находим ф(0) = 0,3989. Искомая вероятность

^4оо (80) = (1/8) • 0,3989 = 0,04986.

Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату (выкладки ввиду их громоздкости опущены):

Р*оо (80) = 0,0498.

Пример 2. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле р = 0,75. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень 8 раз.

Решение. По условию, п=10; А: = 8; р=0,75; 9 = 0,25. Воспользуемся асимптотической формулой Лапласа:

^f"⁽⁸⁾" У.о.о',75.о,г5-*^м-⁰'⁷³⁰¹ •*<*>•

58

Вычислим определяемое данными задачи значение х:

k — np 8—100,75 _лп„

х= _г^Лг—— ' -упав,

Y npq V Ю-0,75-0,25

По таблице приложения 1 находим <р (0,36) =0,3739. Искомая вероятность

Р₁₀ (8) = 0,7301 -0,3739 = 0,273.

Формула Бернулли приводит к иному результату, а, именно р₁₀ (8) = 0,282. Столь значительное расхождение ответов объясняется тем, что в настоящем примере п имеет малое значение (формула Лапласа дает достаточно хорошие приближения лишь при достаточно больших значениях л).