§ 7. Стационарный белый шум

Стационарным белым шумом называют стацио­нарную случайную функцию X (t), спектральная плотность которой постоянна:

Найдем корреляционную функцию белого шума. Исполь­зуя формулу (**) (см. § 3)

получим

Приняв во внимание, что [см. § 6, соотношение (*)]

00

5 e'^dco = 2яб (т),

— 00

окончательно имеем

x). (**)

Таким образом, корреляционная функция стационар­ного белого шума пропорциональна дельта-функции; коэф­фициент пропорциональности 2ns называют интенсив­ностью стационарного белого шума.

444

Дельта-функция равна нулю при всех значениях поэтому и корреляционная функция k_x (т) также равна нулю при этих же значениях т [это видно из формулы (**)]. Равенство же нулю корреляционной функции стационар­ного белого шума означает некоррелированность любых двух его сечений — случайных величин X(t_x) и X (t_s) (t^t_%). Благодаря этой особенности белый шум находит широ­кое применение в теории случайных функций и ее при­ложениях. Однако эта же особенность указывает на то, что осуществить белый шум невозможно, так как в дей­ствительности при очень близких значениях t_l и t₂ соот­ветствующие случайные величины X (/_х) и X (t₂) в извест ной степени коррелированы.

Таким образом, стационарный белый шум — математи ческая абстракция, полезная для теории случайных функ ций и ее приложений. В частности, белый шум иеполь зуют для моделирования случайных процессов, которые имеют постоянную спектральную плотность в опреде­ленном диапазоне частот, причем поведение спектральной плотности вне его исследователя не инте­ресует.

Пример. Спектральная плотность стационарной случайной функ­ции X (t) постоянна в диапазоне частот (—о)_0> со_о), а вне его равна нулю:

( 0 при со < — со_о,

. (со) = / s при — со_о < со < со_о, \ 0 при со > со₀.

Найти: а) корреляционную функцию; б) дисперсию случайной функ­ции X (О-

Решение, а) Найдем искомую корреляционную функцию:

«о ».

= \ s cos coxdco = 2s \

-i. i

-0),

Итак,

, . . С . „ С . 2s sin k_x (т) = \ s cos coxdco = 2s l cos corrfco =

б) Найдем искомую дисперсию:

п и i. / v I- 2s sin <о_от _ ,. sinco_eT . D_x = lim k_x (т) = lim ²-=2s©_e hm =_=s2sco_e.

Итак.

445

§ 8. Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной динамической системой

Стационарной линейной динамической системой называют устройство, которое описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффи­циентами вида

= &₀Х<"» (t) + 6_XX<-» (/)+...+ Ь_тХ (t), (*)

где X (t) — входная стационарная случайная функ­ция (воздействие, возмущение), Y (t) — выходная случай­ная функция (реакция, отклик).

Если динамическая система устойчива, то при доста­точно* больших значениях t, т. е. по окончании переход­ного процесса, функцию Y (t) можно считать стационарной. Подчеркнем, что при дальнейшем изложении предпола­гается, что X(t)uY(t) — стационарные случайные функции.

Поставим перед собой задачу найти характеристики выходной функции по известным характеристикам вход­ной функции.

Найдем математическое ожидание т_у, зная т_х, для чего приравняем математические ожидания левой и правой частей уравнения (*). Учитывая, что X (/) и Y (t) — ста­ционарные случайные функции, а значит, математические ожидания производных этих функций равны нулю, по­лучим

^ап^ту — Ь_тт_х.

Отсюда искомое математическое ожидание

rn_y = b_mm_x/a_n. (**)

Пример 1. На вход линейной динамической системы, описываемой уравнением

подается стационарная случайная функция X (t) с математическим эжиданием т_х— 10. Найти математическое ожидание случайной функ­ции Y (t) на выходе системы в установившемся режиме (после зату­хания переходного процесса).

Решение. Используя формулу (**), получим

tn_v = Ь_тт_х/а_п = (6/2) • 10 = 30.

Введем понятия передаточной функции и частотной характеристики, которые понадобятся далее. Предвари-

446

тельно запишем уравнение (*) в операторной форме, обо-значив оператор дифференцирования -^ через р, ^— через р² и т. д. В итоге уравнение (*) примет вид

«Решим» это уравнение относительно Y (t):

П ередаточной функцией линейной динамической си­стемы называют отношение многочлена относительно р при X(t) к многочлену при Y (t) в операторном уравне­нии (*•*):

И з соотношения (****) следует, что выходная и вход­ная функции связаны равенством

= d>(p)X(t).

Частотной характеристикой линейной динамической системы называют функцию, которая получается заменой аргумента р в передаточной функции на аргумент to (w—действительное число):

а₀ (to)» + о_х (to)» -1 +... + a_n •

Доказано, что спектральные плотности выходной и входной функций связаны равенством

Отсюда заключаем: для того чтобы найти спектраль­ную плотность выходной функции, надо умножить спект­ральную плотность входной функции на квадрат модуля частотной характеристики.

Зная же спектральную плотность выходной функции, можно найти ее корреляционную функцию [§ 3, форму­ла (**)]:

ао

447

а следовательно, и дисперсию:

— 00

Пример 2. На вход ли мы, описываемой уравнением

Пример 2. На вход линейной стационарной динамической систе. описываемой уравнением

подается стационарная случайная функция X (/) с корреляционной функцией k_x (T) = 6e-'²l'^t I. Найти дисперсию случайной функции Y (t) на выходе системы в установившемся режиме.

Решение 1. Найдем спектральную плотность выходной функ­ции. Используя решение примера 2 (см. § 4) при D = 6 и а = 2 получим

Ра 62 12

^s ()

л (о² -f 4)'

2. Найдем передаточную функцию, для чего напишем заданное уравнение в операторной форме:

(Зр + 1) К (0 = (4р+!)*</). Отсюда

Следовательно, передаточная функция

4Р+1 "Зр+Г

3. Найдем частотную характеристику, для чего заменим в пере­даточной функции аргумент р на ш: