§ 4. Нормированная спектральная плотность

Наряду со спектральной плотностью часто исполь­зуют нормированную спектральную плотность.

.Нормированной спектральной плотностью стационар­ной случайной функции X (t) называют отношение спек­тральной плотности к дисперсии случайной функции:

J s_x(ti>)da>.

Пример. Задана спектральная плотность s_x (а>) = 5/(я(1+©*)) стационарной случайной функции X (t). Найти нормированную спек­тральную плотность.

Решение. Найдем дисперсию:

— 00

Найдем искомую нормированную спектральную плотность, для чего разделим заданную спектральную плотность на дисперсию D_x = 5; в итоге получим

Нормированная спектральная плотность представима в виде косинус-преобразования Фурье нормированной корреляционной функции:

00

^{1 * ^Т^ COS ШТ dX-}

441

Действительно, чтобы получить эту формулу, достаточм разделить на Ь_х обе части соотношения (***) (см. § з\°

В свою очередь, нормированная корреляционная фу ция выражается через нормированную спектральную пл ность при помощи обратного преобразования Фурье:

р_х (т) = 2 J s_{x норм} (<о) cos oar dco.

о

В частности, положив т = 0 и учитывая, что р_ж (0) = i

получим *

2 $ s_{x норм} (<о) do) = 1, или $ s_JCHOpM((o)d(o== 1.

О -оо

Геометрически этот результат означает, что площадь ограниченная снизу осью Осо и сверху кривой s^ _норм (со)| равна единице.

§ 5. Взаимная спектральная плотность стационарных и стационарно связанных случайных функций

Пусть X (0 и У (t)—стационарные и стационарно связанные случайные функции со взаимной корреляцион­ной функцией г_ху(х).

Взаимной спектральной плотностью двух стационар­ных и стационарно связанных случайных функций X(t) и Y(t) называют функцию s_xy (со), определяемую преобра­зованием Фурье:

В свою очередь, взаимная корреляционная функция выражается через взаимную спектральную плотность с помощью обратного преобразования Фурье:

— 00

Пример. Задана корреляционная функция k_x (т) стационарно случайной функции X(t). Найти: а) взаимную корреляционную>4?L ,л цию; б) взаимную спектральную плотность случайных функций л

ик(о=л(/+д

442

Решение, а) Легко убедиться, что К(/) —стационарная функ­ция. Найдем взаимную корреляционную функцию:

Rxy(tuh) = M [X (tJY (t_t)] = M )]

= **№• +'о)-'il =* Отсюда видно, что стационарные функции X (t) я Y (/) стационарно связаны (их взаимная корреляционная функция зависит только от разности аргументов т).

б) Найдем взаимную спектральную плотность:

СО

Итак, искомая взаимная спектральная плотность

§ в. Дельта-функция

Дельта-функция Ь (t) является примером обобщен­ной функции (обобщенная функция—предел последова­тельности однопараметрического семейства непрерывных функций). Дельта-функцию определяют тем условием, что она ставит в соответствие всякой непрерывной функции f(t) ее значение при t = 0:

1равую часть равенства можно представить в виде пре­дела:

00

*=1S S b_e{t)t(t)dt i

где

О при |*|>е, 1/(2е) при |*|<е. Таким образом, дельта-функцию можно рассматривать как предел последовательности функций б_е (t) при е—>0. Учитывая, что 6_е(*)—"О при t^O, 6_e(t)—+oo при ⁸ 1

•О и ^ 2в^⁼ ^» условно пишут

—8

Г 0 при t=ji=O, ( оо при f = 0.

443

Физически дельта-функцию можно истолковать как плотность единичной массы, сосредоточенной в нуле.

Можно доказать, что дельта-функция представима ин­тегралом Фурье:

Отсюда

-йг 5 ^e"°'^d<0-

Замечание. В приложениях часто используют соотношение

00

J f(t)b(t-U)dt = f(t₀),

— СЮ

которое вытекает из сказанного выше.