§ 3. Непрерывный спектр стационарной случайной функции. Спектральная плотность

Среди стационарных случайных функций есть такие функции, корреляционные функции которых нельзя представить в виде

437

где число слагаемых конечно или счетно. Спектр этих функций не дискретный, а непрерывный. Для рассмот­рения стационарных случайных функций с непрерывным спектром необходимо ввести понятие спектральной плот­ности.

Выше, когда частоты гармоник спектрального разло­жения стационарной случайной функции были дискрет­ными и равноотстоящими, был получен дискретный ли­нейчатый спектр, причем соседние частоты отличались на величину Ао> = л/7. Пусть Т—*оо, тогда Аа>—>~0. Ясно, что при этом частота изменяется непрерывно (по­этому обозначим ее через о без индекса), соседние ординаты спектра сближаются и в пределе вместо дискретного спектра мы получим непрерывный спектр, т. е. каж­дой частоте со(а>^0) соответствует ордината, которую обозначим через s*((o).

Хотя отрицательные частоты физического смысла не имеют, для упрощения вычислений целесообразно считать, что частоты изменяются в интервале (—с», оо), и вместо функции s^((o) рассматривать функцию, которая имеет вдвое меньшие ординаты:

«,(©) = s; (<»)/2.

Спектральной плотностью стационарной случайной функции X(t) называют функцию s_x{(a), которая связана с корреляционной функцией k_x (т) взаимно обратными преобразованиями Фурье:

_x(<0)e<°"dG>. (**)

Эти формулы называют формулами Винера — Хинчина. В действительной форме они представляют собой взаимно обратные косинус-преобразования Фурье:

00

^s* («>) = — \ k_x (т) cos сот dx, (***)

00

К (^т) = 2 § s_x (со) cos сот do. (****)

438

Важное значение спектральной плотности в том, что, зная ее, можно найти корреляционную ^ цию, и обратно (в этом смысле спектральная плотное^ и корреляционная функция эквивалентны); кроме тог^ как уже было указано, использование спектральной пло-j,' ности в ряде случаев значительно упрощает теоретически и практические расчеты.

Подчеркнем, что, как следует из формулы (***), спе^ тральная плотность — четная функция:

Выясним вероятностный смысл функции s_x (a>). Пол_0> жив т = 0 в соотношении (#***) и учитывая, что k_x (0) = £> s_x (со)—четная функция, получим '

00

= J s*(co)dco.

Видим, что дисперсия стационарной случайной фунн, ции X (0 представляет собой «сумму» элементарных дис­персий s_x (со) dco = s_x (со) Асо; каждая элементарная диспер, сия соответствует частичному интервалу частот Дсо_ В частности, частичному интервалу Асо = со_&—со_а соответ. ствует дисперсия

£>х= 5 s_x((o)d(o.

По теореме о среднем,

D_x = К—со_а) s_x (со,) = Aas_x (co_c),

где со„ < (л_с < со₆ Отсюда

((о_с) —

Из этой формулы заключаем:

а) величину s_x(ы_с) можно истолковать как среднюю плотность дисперсии на частичном интервале Дсо, содержащем частоту со_с;

б) при Дсо —»- 0 естественно считать, что s_x (со,,) — п л о т- ность дисперсии в точке ш_с. Поскольку никаких ограничений на частоту со,, наложено не было, получен­ ный результат справедлив для любой частоты.

439

••- Итак, спектральная плотность описывает распределе­ние дисперсий стационарной случайной функции по не­прерывно изменяющейся частоте.

Из вероятностного смысла спектральной функции сле­дует, что спектральная плотность—неотрица­тельная функция s_x(co)^0.

Пример 1. Найти спектральную плотность стационарной случай­ной функции X (О, зная ее корреляционную функцию

\0 при | т | > 2.

Решение. Используя формулу

00

^sx (^ю) = — \ Ь_х (т) cos сот dx

о и учитывая, что |т| = т в интервале (0, 2), имеем

2 S*(G>) = J- С (\ L] COS (ВТ <fT.

^п о >■ ² '

Интегрируя по частям, окончательно получим искомую спектраль­ную плотность:

s_x (и) = sin² (й/(яш²).

Пример 2. Найти спектральную плотность стационарной случай­ной функции X (/), зная ее корреляционную функцию k_x (x)=*De~^a '* t а > 0.

Решение. Используем формулу

/ \ I

Учитывая, что |т| = — т при т < 0, |х|=т При xs»0, получи»¹

k_x(x) = Dt^a* при т < 0, k_x(x) = De-^ax при т^О. Следовательно,

р 0 оо -.

\~ ^D Г Г I

L-» о J

_—^D _{Гс с 1}

^{~2nlle< fw)TdT+je-(e+'<B)tdTj-}

Выполнив интегрирование, найдем искомую спектральную ^яЛ°

■ость:

_s . _Da

л 440

Пример 3. Найти корреляционную функцию стационарной случай­ной функции X (/), зная ее спектральную плотность

( s₀ в интервале —u)₀<(o«S<o_0> s_x (ш) = < _Л

10 вне этого интервала.

Решение. Используя формулу

00

k_x (т) = 2 V s_x (о) cos cut dT

О

я учитывая, что s_x((o)==(o₀ в интервале (0, ш₀), имеем

«о

Л_х (т) = 2s₀ \ cos шт dT.

о

Выполнив интегрирование, получим искомую корреляционную функцию:

k_x (1) r= 2s₀ sin ш_от/т.