§ 2. Дискретный спектр стационарной случайной функции

А. Частоты — произвольные числа, количество их конечно. Пусть стационарная случайная функция X (t) может быть представлена в виде спектрального разло­жения

(0 2,(0 2

причем сохраняются допущения, указанные в начале п. 2 (см. § 1). Найдем дисперсию одной гармоники Xi(t), учитывая, что случайные величины U_t и V,- не коррели-рованы и дисперсии величин с одинаковыми индексами равны между собой: D ((/,) — D (V₍) ==£),:

D [X_t (t)] = D[Ui cos ©// + Vi sin to,-*] = D[U_t cos о,-*] + + D \V_t sin щ{\ = cos² ta_ttD (U_t) + sin² a_tt D (V₍) =

= (cos² (Hit + sin² (uit) Di = D_t. Итак,

D_t. (**)

Таким образом, дисперсия t-й гармоники спектраль­ного разложения (*) равна дисперсии случайной вели­чины UI, или, что то же, дисперсии случайной величины К,-.

Найдем теперь дисперсию стационарной случайной функции X (/), приняв во внимание, что слагаемые X_t (i) не коррелированы (см. § 1) и поэтому дисперсия их суммы равна сумме дисперсий слагаемых (см. гл. XXIII, § 15, замечание 2):

D[X(t)] = D [ J X_t (0J = 2 D [X

435

Используя (**), окончательно получим

2,

Итак, дисперсия стационарной случайной функции, которая может быть представлена в виде суммы конеч­ного числа гармоник с произвольными частотами, равна сумме дисперсий составляющих ее гармоник.

Дискретным спектром стационарной случайной функ­ции X (t) вида (*) называют совокупность дисперсий всех составляющих ее гармоник.

Заметим, что поскольку каждой частоте о»,- можно поставить в соответствие дисперсию D_h то спектр можно изобразить графически: на горизонтальной оси отклады­вают частоты со,, а в качестве соответствующих ординат (их называют спектральными линиями) строят диспер­сии Д-. Этот дискретный спектр называют линейчатым.

Пример. Построить дискретный спектр стационарной случайной функции

X (t) = [U_t cos It + Vy, sin 2/] + [t/₂ cos 3/ + V₂ sin 3/] f + [t/₃cos4M F_ssin4/],

если случайные величины U_x, V₂, U₉; V_b V₂, V₃ не коррелированы, их математические ожидания равны нулю и заданы дисперсии: D (U) £>(V) 5 D(£/) D(V) 6 D(U)D (V 4

Решение. Отложив на горизонтальной оси частоты <о₁=2, <о_я = 3, <а₃ = 4, а на вертикальной оси — соответствующие им ординаты О_х = 5, D₂ = 6, D₃ = 4, получим график искомого спектра.

Б. Равноотстоящие частоты, множество их бесконеч­ное (счетное). В предыдущем пункте предполагалось, что число частот в спектральном разложении (*) конечно, а сами частоты — произвольные числа. Теперь рассмотрим спектральное разложение вида

00

X (0 = 2 Wi cosUit+Vi sin (o,/J,

в котором число частот бесконечно (счетно), они равноотстоящие, причем разность любых двух «со­седних» частот

Д(о-о)₍₊₁-а)₁ = я/Г (/-1,2,...),

где Т—действительное положительное число. Таким образом,

я 2л ж'

«Ч == y » ^w»⁼ *Т~» " * •» ^{Wf =} Т' ''"

436

Напишем корреляционную функцию [см. § 1, фор-| мула (***)] рассматриваемой стационарной случайной функции X (0. положив со, = я/'/Г, п = оо:

1=1

При т = 0, учитывая, что k_x (0) = D_x, получим

А, = 2 Д. (**)

Итак, дисперсия стационарной случайной функции, которая может быть представлена в виде суммы беско­нечного (счетного) множества гармоник с равноотстоя­щими частотами, равна сумме дисперсий слагаемых гармоник (если сумма существует, т. е. ряд (**) сходится).

Заметим, что соотношение (*) можно рассматривать как разложение корреляционной функции в ряд Фурье по косинусам. Из (*) видно, что k_x (т)— периодическая функция с периодом 27', поэтому коэффициенты Фурье

т

^

|или, учитывая, что mi — mlT и подынтегральная функ­ция—четная, •т

D,- = ■=- У k_x (т) cos со/Т dx.

о

Если каждой частоте со_/ = я//Г (/=1, 2, •••) ставить в соответствие дисперсию £>,-, то получим, как и в случае конечного числа произвольных частот, дискретный линейчатый спектр, причем число спектральных линий (ординат D,) бесконечно (счетно) и они равно­отстоящие (соседние спектральные линии находятся одна от другой на одном и том же расстоянии До == п/Т).