§ 1. Представление стационарной случайной функции в виде гармонических колебаний со случайными амплитудами и случайными фазами

В этой главе вводится новая характеристика стационарной случайной функции—спектральная плот­ность, которая упрощает теоретические и практические

431

расчеты. В частности, используя ее, можно найти ха­рактеристики выходной функции стационарной линейной динамической системы по известным характеристикам входной функции (см. § 8).

Далее будет показано, что стационарную случайную функцию, вообще говоря, можно представить в виде гар­монических колебаний со случайными амплитудами и случайными фазами.

1. Рассмотрим случайную функцию вида

Z(/) = i7 cosco/ + Vsinco/, (*)

где со — постоянное действительное число; U и V—некор­релированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и одинаковыми дисперсиями:

Преобразуем правую часть соотношения (*): Z (/) = V (у cos со/ + sin со/ J.

Положив £//V = tg(p и выполнив элементарные выкладки, получим

Z (/) = yU² + V² sin (со/ + ф),

где ф == arctg (UjV).

Отсюда следует, что случайную функцию Z (/) = = U cosiot -f-Vsinto/ можно истолковать как гармониче­ское колебание со случайной амплитудой Уи* + У², случайной фазой at + arctg (U/V) и ча­стотой о».

Заметим, что, по допущению, m_a = m_v = 0, поэтому U

и V — центрированные случайные величины: U = U и V=V. Легко убедиться, что т_г(/) = 0. Следовательно, Z(t) — центрированная случайная функция:

Покажем, что Z (t) — U cos a>t -j-V sin at — стационарная случайная функция. Действительно, математическое ожи­дание т_г(/) = 0, т.е. постоянно при всех значениях аргу­мента. Найдем корреляционную функцию, приняв во внимание, что Z(t) = Z(t):

К_г (Л, /,) = М \Z (/,) Z (/,)] = M[Z (t_t) Z (t,)] = = M [(U cos mt₁ + V sin to/J (U cos w/₂ + V sin co/J].

432

Выполнив элементарные выкладки *', получим

Итак, корреляционная функция случайной функции Z (О зависит только от разности аргументов, а ее мате­матическое ожидание постоянно. Следовательно, Z(t) — стационарная случайная функция, что и тре­бовалось доказать.

2. Рассмотрим теперь случайную функцию X (/), ко­торая является суммой конечного числа слагаемых вида (*):

п

X (0 = 2 [Vi ^c°s со,* + V_t sin со,/], (**)

где случайные величины U _l и V_{ не коррелированы, их математические ожидания равны нулю и дисперсии вели­чин с одинаковыми индексами равны между собой: D(U_i) = D(V_i) = D.

Заметим, что X (t) — центрированная функция, т. е. X (t) — X (0- Действительно, математическое ожидание каждого слагаемого суммы (**) равно нулю; следова­тельно, математическое ожидание m_x(t) этой суммы также равно нулю и, значит,

Докажем, что функция X (t) вида (»*) — стационар­ная. Действительно, математическое ожидание m_x(t) = 0 при всех значениях аргумента, т. е. постоянно. Кроме того, слагаемые суммы (**) попарно не коррелированы (см. далее пояснение), поэтому корреляционная функция этой суммы равна сумме корреляционных функций сла­гаемых (см. гл. XXIII, § 15, следствие 1 из теоремы 2). В п. 1 доказано, что корреляционная функция каждого слагаемого (**) зависит только от разности аргументов *₂ — /,. Следовательно, корреляционная функция сум­мы (**) также зависит только от разности аргументов:

п

К_х (t_lt t₂) = ,2 Di cos со,- (t_a - О»,

*> При выкладках следует учесть, что, по условию, М (О²) = = Af(V'^1!) = D, а так как U = U, P=V, то M(U*) = M (V²) = О. Слу­чайные величины U и V не коррелированы, поэтому их корреляци­ MU MU

°нный момент

433

или

п

k_x (т) = 2 ^Dt cos <о,т, (***)

где т = г„—t_x.

Таким образом, случайная функция X(t) вида (**) есть стационарная функция (разумеется, должны выполняться условия, указанные в п. 2).

Принимая во внимание, что (см. п. 1)

X, (0 = УЩ+Щsin (<*,.< + ч>,),

где ф,- = arctg (Uj/Vj), заключаем, что сумму (**) можно записать в виде

X (0 - jy

Итак, если случайная функция X (t) может быть пред­ставлена в виде суммы гармоник различных частот со случайными амплитудами и случайными фазами, то X (/)— стационарная функция.

Спектральным разложением стационарной случайной функции называют представление этой функции в виде суммы гармонических колебаний различных частот со случайными амплитудами и случайными фазами.

Пояснение. Покажем, что слагаемые суммы (**) попарно не коррелированы. Для простоты, не теряя общ­ности доказательства, ограничимся двумя слагаемыми:

X₁(t) — U₁cos(o₁t-\~V₁sm(d_lt и Х_а (t) = U₂ cos <o₂t + У₂ ^sin ®tt.

Убедимся, что их взаимная корреляционная функция равна нулю и, следовательно, они не коррелированы (см. гл. XXIII, § 12):

К*л (*х, /,) = М [X_t (tj Х_г (/,)] = М [Х_х (t,) Х_г {t_t)] -= М [(l/_x cos oo^i + V_x sin aj^ (l/_a cos ©₂/₂ + V_a sin ©,/,)]■

Выполнив умножение и вынеся неслучайные множители за знак математического ожидания, найдем

Я*, х, (t_lt /,) = cos mjj, cos n_tt_tM (U_tU_a) +

+ sin (o^i cos<u_tt_tM (U_tV_t) + sin ю₂/₂ cos caj_tM (UjVJ +

+ sin cOi^ sin (о_Л(_яМ (VjV_t).

434

Случайные величины U_lt U₂, V_lt V₂ попарно не корре-лированы, поэтому их корреляционные моменты равны нулю; отсюда следует, что все математические ожидания парных произведений этих величин равны нулю. Напри­мер, корреляционный момент величин V\ и U₂ равен нулю: fAuiu» = M Ф_х0₂) = 0; так как эти величины центрирован­ные (см. п. 1), то M(t/_xf/₂) = 0.

Итак, взаимная корреляционная функция Rx_lx_t(t₁, t_t) = = 0, что и требовалось доказать.