§ 7. Корреляционная функция интеграла от стационарной случайной функции

Теорема. Корреляционная функция интеграла t

Y (t) — ^ X (s) ds от стационарной случайной функции

о равна

1, ti-ti

426

Доказательство. Известно, что корреляцией*¹³

функция интеграла У (t) = } X (s) ds от случайной фу*¹*⁴'

о

ции X (t) равна двойному интегралу от ее корреляций* ной функции (см. гл. XXIII, § 17, теорема 2):

t,t,

О О

Принимая во внимание, что корреляционная функи^иЯ стационарной случайной функции зависит только от р^а3" ности аргументов, т.е. K_x(s_lt s_i) = k_x(s_a—s₁), получи^

о о

Рис. 28

Вычисление этого интег­рала весьма громоздко, по­этому ограничимся указани­ями: перейти к новым пере­менным t = s₂—s₁, 5 = 5^ + 5^ начертить новую область ин­тегрирования, ограниченную прямыми т=£, т = — g, x = g — 2t_t, т = — l + 2t₂, и выполнить интегрирование по £. Двойной интеграл по области OABD можно вычис­лить как разность двойных интегралов по областям ОАС и BDC. При интегрирова­нии по области ODE переста­вить пределы интегрирования по т и перейти к новой переменной т' = — т (рис. 28).

Следствие. Дисперсия интеграла Y (t) = J X (s) ds

t

от стационарной случайной функции равна

{**)

427

Действительно, положив t_t = t_t = t в формуле (•), полу­чим

После приведения подобных членов окончательно имеем

Пример. Задана корреляционная функция Л_х(т) = 1/(1-+-**) ста­ционарной случайной функции X (/). Найти дисперсию интеграла

Y(t)**[X($)da.

Решение. Воспользуемся формулой (**):

t 1

2

С(t-x)k_x (т)<*т = 2 С ⁽"Т

Выполнив интегрирование, получим искомую дисперсию: D_v (0 = 2/ arctg / — In (I + /•).

Заметим, что функция Y (/) не стационарна, так как ее дисперсна ие постоянна, а зависит от аргумента /.

§ 8. Определение характеристик эргодическмх стационарных случайных функций из опыта

Среди стационарных случайных функций можно выделито класс функций, оценка характеристик которых путем усреднения множества реализаций равносильна усреднению по времени только одной реализации доста­точно большой длительности.

Стационарную случайную функцию X (/) называют вргодической, если ее характеристики, найденные усред­нением множества реализаций, совпадают с соот­ветствующими характеристиками, полученными усредне­нием по времени одной реализации x(t), которая

428

наблюдалась на интервале (О, Т) достаточно большой длительности.

Достаточное условие эргодичности стационарной слу­чайной функции X (t) относительно математи­ческого ожидания состоит в том, что ее корреля­ционная функция k_x (т) при т—»■ сю стремится к нулю:

lim k_x (т) = 0.

Достаточное условие эргодичности стационарной слу­чайной функции X (/) относительно корреляци­онной функции состоит в том, что корреляцион­ная функция k_y (т) при т—*■ со стремится к нулю:

где Y(t, -c) = X(t)X(t + x).

В качестве оценки математического ожидания эргоди-ческой стационарной случайной функции X (t) по наблю­давшейся на интервале (0, Т) реализации x(t) принимают средчее по времени ее значение:

т ■

Известно, что корреляционная функция стационарной случайной функции

Таким образом, оценить k_x{x) означает оценить мате­матическое ожидание функции X(t)X (t + r), поэтому можно воспользоваться соотношением (*), учи­тывая, что функция X(t + t) определена при t + x^iT и, следовательно, t^.T—т.

Итак, в качестве оценки корреляционной функции эргодической стационарной случайной функции принимают

Г-т

*И*) = —- § °x{t)'x{t + x)dt (**)

о

либо, что равносильно,

Ь'х№ = тЫ J x(t)x(t+T)dt—[ml]*. (#**)

429

Практически интегралы вычисляют приближенно, на­пример по формуле прямоугольников. С этой целью делят интервал (О, Т) на п частичных интервалов длиной At = T/n; в каждом частичном i-м интервале выбирают одну точку, например его середину t_L. В итоге оценка (*) принимает вид

п

да;=7г[*(^)Д* + *(*,)Д*+---+*('_я)Л']--т-Е *(*,). Учитывая, что At = Т/п, окончательно получим

Аналогично приближенно вычисляют интеграл (**)_t полагая, что г принимает значения Д^, 2Д/, ..., (п—1) Дг' или, что то же, Т/п, 2Т/п, ЗТ/п, ..., (п~1)Т/п.

В итоге оценки корреляционной функции (**) и (***) принимают соответственно вид:

п-1

п-1

где 1=1, 2 n— 1.

Замечание. Можно показать, что оценка (*) — несмещенная, т.е. Л1 [т*] =/п_л; оценка (**) — асимптотически несмещенная, т.е.

lim M\t

Задачи

1. Является ли стационарной случайная функция X (t)= = t*U, где U—случайная величина, причем: а) т_и ф О, б) т_а=№ Отв. а) Нет: т_х (t) Ф const; б) Нет: корреляционная функция зависит не от разности аргументов, а от каждого из них.

2. Стационарна ли случайная функция X (<) = sin (< + <p), ^гД^е Ф — случайная величина, распределенная равномерно в интервале (О, 2л)?

Отв. Да: т_х (/) = 0 = const, K_x(ti, /j) =0,5 cos {t₃ — t_x).

3. Известно, что если ф — случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0, 2я), то случайная функция X (t) — = ein(/ + q>) — стационарная. Можно ли отсюда непосредственно заключить, что случайная функция Y (<) = cos (t -\- ф) также стацио­ нарна?

Отв. Можно: изменив начало отсчета аргумента, например ^на я/2, стационарной функции X (/), получим функцию Y (t).

4. Задана случайная функция X (t) — t-{- U ein t-\- К cos t, где U и V—случайные величины, причем М (U) = M (V)=0, D(U)=D(V)=5, М (UV) = 0. Доказать, что: а) X (t) — нестационарная функция; б) X {{) — стационарная функция.

Отв. а) т_х (t)Фconst; б) /п„ (<) = const, K_x{t_u t_z) = b cos (t₂— t_t).

5. Известна корреляционная функция k_x (т)^3е~^2т* стационар­ ной случайной функции X (t). Найти корреляционную функцию слу­ чайной функции Y (t)~bX\t).

Отв. k_y(x) = 75e-^2X'.

6. Задана корреляционная функция fe_x(x)=2e~^2T стационарной случайной функции X (t). Найти нормированную корреляционную функцию.

Отв. р_х (т) = е~^т\

7. Заданы две стационарные случайные функции X (t)~cos (2/+<p) и Y (f) = sin (2< + ф). ^гД^е Ф — случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0, 2я). Доказать, что заданные функции стационарно связаны.

Отв. R_xv(t_x, <₂) = 0,5sin2(f₂— t_t).

8. Задана корреляционная функция Л_ж(т)=6е~°'^2Т> стационарной случайной функции X (t). Найти: а) корреляционную функцию; б) дисперсию производной X' (t) = x.

Отв. а) ^(т) = 0,24е-°'^2г'(1—0,4т²); б) 0^ = 0,24.

9. Задана корреляционная функция £_Л(т) = е~^т стационарной случайной функции X (t). Найти взаимные корреляционные функции случайной функции X (t) и ее производной.

Отв. г. (т)=—2те-^т'; г. (т) = 2те"^т1.

XX ^Х ' XX ^Ч '

10. Задана корреляционная функция й_ж(т) = е~'^т' стационарной случайной функции X (t). Найти дисперсию интеграла Y (/)= \ X (s)ds.

Отв. £>„(0 = 2(;+е-*—1).

Глава двадцать пятая

ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ