§ 5. Корреляционная функция производной стационарной случайной функции

Теорема. Корреляционная функция производной X' (t) — it дифференцируемой стационарной случайной функции X (0 равна второй производной от ее корреля­ционной функции, взятой со знаком минус:

Доказательство. Известно, что корреляционная функция производной любой дифференцируемой случай­ной функции равна второй смешанной производной от ее корреляционной функции (см. гл. XXIII, § 16, теорема 2):

П о условию, X (t)—стационарная функция, поэтому ;е корреляционная функция зависит только от разности ipry ментов:

Из соотношения x = t_t—t_x следует, что

^{1 и 1}

Учитывая равенства (*), получим

Kit t \ ^дЧ*Ы - ^д \^дк*Щ - ^д \^dk*<?) **Л А^ V^fi» ^l») — dt_tdt_t ~dt_t I dt_t \~dtil dx dt_t J

Видим, что искомая корреляционная функция зависит олько от т, поэтому K_x(t_lt t_t) = k_x(x).

Итак,

24

' Пример. Задана корреляционная функция (с_х(т)=2е ^0>5х* ста­ционарной случайной функции X (t). Найти: а) корреляционную

.функцию; б) дисперсию производной X'(t)=x.

' Решение, а) Продифференцировав дважды заданную корреля­ционную функцию и изменив знак результата на противоположный, найдем искомую корреляционную функцию:

ft. (т)=2е-°'^5Т'(1— т^г).

б) Положив т = 0, получим искомую дисперсию: D. =А;.(0) = 2.

X X ^V '

§ 6. Взаимная корреляционная функция стационарной случайной функции и ее производной

Теорема. Взаимная корреляционная функция диф­ференцируемой стационарной случайной функции X (t) и ее производной X'(t) = x равна первой производной от корреляционной функции k_x(t), взятой со своим (проти­воположным) знаком, если индекс х стоит на втором (первом) по порядку месте:

a)r_li(T) = «(t); б) r_ix(x) = -k'_x(x).

Предполагается, что x = t_t— t_x.

Доказательство, а) По определению взаимной корреляционной функции,

R_x; (f_lt /,) = М [X (t_t) X' (/,)] = Af [^д1*<Ы*<™ } .

Операции нахождения математического ожидания и диф­ференцирования можно переставить (см. гл. XXIII, § 16, замечание 1), поэтому

L 0 ,. , •. дМ [X (ti) X (t_t)] dKxWiy ?г)

■ • **■ ^u *'~ dtt cHl *

V Так как X(t)—стационарная функция, то ее корреля­ционная функция зависит только от разности аргументов:

Kxih'ttf^kxiV' ^гД^е x = t_M~-t_l и, следовательно, щ-— 1. Таким образом.

— ^dkx(т) — ^dkx —sr^*

425

Правая часть равенства зависит только от т; следова­тельно, и левая часть есть функция от т. Обозначив ее через т_хх (т), окончательно получим

б) Доказывается аналогично.

Заметим, что поскольку взаимная корреляционная функция г_хх (т) зависит только от т, то стационарная случайная функция и ее производная стационарно свя­заны (см. § 4).

Пример. Задана корреляционная функция k_x (т) = е~'^х' (1 +1 ^т I) стационарной случайной функции X (t). Найти взаимную корреля­ционную функцию, г ■ (т) заданной случайной функции и ее произ­водной.

Решение. Воспользуемся формулой

а)Пустьтг&0. Тогда |т|=т, k_x(т) = е~^т(I +т). k'_x(%) = e~^xX XI—(1+т)е~^х = —те~^х. Таким образом, при т^О

г . (т) = — те~^х.

XX ^Ч '

б) Пусть т < 0. Тогда | т | =—т, k_x(T) = e^x (1 — т), к'_х(т) = — е^т + -f-(l—т) е^г = — те^х . Таким образом, при г < 0

г • (т) = — те^г .

XX

Итак, искомая взаимная корреляционная функция

• те~^х при т^гО,

• те^т при т < 0.