§ 3. Нормированная корреляционная функция стационарной случайной функции

Кроме корреляционной функции для оценки сте­пени зависимости сечений стационарной случайной функ-Дии используют еще одну характеристику — нормирован­ную корреляционную функцию.

421

Ранее нормированная корреляционная функция была >пределена так (см. гл. XXIII, § 11):

В частности, для стационарной функции числитель и зна­менатель этой дроби имеют вид (см. § 1, соотношения (*)

и (**)) K_x(t_lt '.)=**(*). а,(0 = У^гВЛ0 = У**(0). Следо-аательно, для стационарной функции правая часть (*) равна k_x(x)/k_x(0) и является функцией одного аргу­мента т; очевидно, и левая часть (*)—функция от т.

Нормированной корреляционной функцией стационар-чой случайной функции называют неслучайную функцию аргумента т:

Абсолютная величина нормированной корреляционной функции стационарной случайной функции не превышает гдиницы. Справедливость этого свойства уже была дока­зана ранее для любой случайной функции (см. гл. XXIII, \ 11). В учебных целях докажем его непосредственно для стационарной функции.

Приняв во внимание, что абсолютная величина част-вого равна частному абсолютных величин, получим

I Р, (т) I = IК (r)/k_x (0) | = | k_x (т) |/| k_x (0) |.

Учитывая, что | k_x (т) | ^ k_x (0) (см. § 2, свойство 2), вкончательно имеем

Замечание. При т = 0 нормированная корреляционная функ­ция равна единице. Действительно,

Пример. Задана корреляционная функция k_x (t)s= (1/2) cos т ста­ционарной случайной функции X (/). Найти нормированную корреля­ционную функцию.

Решение. Воспользуемся определением нормированной корреля­ционной функции:

) (1/2) cost

И так, искомая нормированная корреляционная функция

Р*(т)=созт.

Заметим, что р_х(0) = 1, как и должно быть в соответствии с за­мечанием, приведенным в этом параграфе,

§ 4, Стационарно связанные случайные функции

Стационарно связанными называют две случай­ные функции X(t) и Y(t), если их взаимная корреля­ционная функция зависит только от разности аргумен­тов x = t₂ — t_t:

Кху l^ii li) ⁼ Т ху VV*

Взаимная корреляционная функция стационарно свя­занных случайных функций обладает следующим свой­ством:

Это равенство следует из свойства 1 взаимной корреля­ционной функции (при одновременной перестановке ин­дексов и аргументов взаимная корреляционная функция не изменяется):

r_xy{t₂ — t₁) = r_yx(t₁ —1₂), или г_ху(т) = г_ух(— т).

Геометрически свойство можно истолковать так: гра­фик кривой г_ух (— т) симметричен графику кривой г_ху (т) относительно оси ординат.

Заметим, что если каждая из двух случайных функ­ций стационарна, то отсюда еще нельзя заключить, что их взаимная корреляционная функция зависит только от разности аргументов.

Стационарными и стационарно связанными называют две стационарные случайные функции X (t) и Y (t), взаим­ная корреляционная функция которых зависит только от разности аргументов x = t_a — t_x.

Пример. Заданы две стационарные случайные функции X (t) = = cos(f + <p) и Y (/) = sin (* + ф), где ф — случайная величина, рас­пределенная равномерно в интервале (0,2л). Доказать, что заданные стационарные функции стационарно связаны.

Решение. Ранее было найдено, что т_х (/) = 0 (см. § 1, пример); аналогично можно получить, что m_t/(/) = 0. Запишем центрированные функции:

? (/) = Y (/) - т„ (/) = Y (/) = sin (/ + _Ф). Найдем взаимную корреляционную функцию: Rxyitu W = M [XVJYdM^M [cos (/j + ф) sin = M Г «n(t_t-t₁) + sln(t₁ + t_t + 2ip) 1

sin (/„-О , „ Г(1 + 1 + ф

423

Легко убедиться, что математическое ожидание второго слагае­мого равно нулю (см. § 1, пример), поэтому

«*»(*!.'•> = 0/2) sin (/.-ft).

Итак, взаимная корреляционная функция заданных стационар. ных случайных функции зависит только от разности аргументов; следовательно, эти функции стационарно связаны.