§ 1. Определение стационарной случайной функции

Среди случайных функций целесообразно выде­лить класс функций, математические ожидания которых сохраняют одно и то же постоянное значение при всех значениях аргумента t и корреляционные функции кото­рых зависят только от разности аргументов t₂—t_x. Ясно, что для таких функций начало отсчета аргумента может быть выбрано произвольно. Такие случайные функции называют «стационарными в широком смысле» в отличие ^От случайных функций, «стационарных в узком смысле» (^все характеристики этих функций не зависят от самих значений аргументов, но зависят от их взаимного рас-^п°ложения на оси /).

Из стационарности в узком смысле следует стацио-|*^аРность в широком смысле; обратное утверждение не-^8еРно.

419

Поскольку мы ограничиваемся корреляционной тео­рией, которая использует только две характеристики (математическое ожидание и корреляционную функцию), далее рассмотрим случайные функции, стационарные в широком смысле, причем будем их называть просто ста­ционарными.

Стационарной называют случайную функцию X (t), математическое ожидание которой постоянно при всех значениях аргумента t и корреляционная функция кото­рой зависит только от разности аргументов t₂—t_t. Из этого определения следует, что:

1) корреляционная функция стационарной случайной функции есть функция одного аргумента x = t_t — t_lt т.е.

2) дисперсия стационарной случайной функции по­стоянна при всех значениях аргумента t и равна значе­нию ее корреляционной функции в начале координат (т = 0), т. е.

АЛО = **(*. t) = k_x{t-t) = k_x(O). (**)

Пример. Задана случайная функция X (/) = cos (/-f-ф), где <р — случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0, 2я). Доказать, что X (/) — стационарная случайная функция.

Решение. Найдем математическое ожидание:

т_х (t) = M [cos (t-\-ф)] = УИ [cos / cos ф —sin / sin ф]=соз tM (cosq>)—

— sin tM (эшф).

Используя формулы (**) из гл. XII, § 11 и (*) из гл. XI, § 6, по лучим:

2л

М (созф)=-^— \ совф«/ф = 0 н Л1(5!пф) = 0.

О Следовательно, т_х (t) = 0.

Найдем корреляционную функцию, учитывая, что центрирован" пая функция X(t) = X(t) — m_x (t) = X (t) = co&(t+y):

= M [к (t{) к (/,)] = М [cos

cos

( ^

(Легко убедиться, что М [cos (t_t-{-ti4-2ф)1=0.)

Итак, математическое ожидание случайной функции X (0 стоянно при всех значениях аргумента и ее корреляционная фУ ция зависит только от разности аргументов. Следовательно, X (0 стационарная случайная функция.

420

Заметим, что, положив t₁ = i₂ — t в корреляционной функции, «айдем дисперсию D_x(t) = K_x(t, /) = [cos (* —01/2 = 1/2. Таким обра-Ьом, дисперсия сохраняет постоянное значение при всех значениях Аргумента, как и должно быть для стационарной случайной функции.

§ 2. Свойства корреляционной функции стационарной случайной функции

Свойство 1. Корреляционная функция ста­ционарной случайной функции есть четная функция:

Доказательство. Корреляционная функция лю­бой случайной функции при перестановке аргументов не изменяется (см. гл. XXIII, § 10, свойство 1). В частно­сти, для стационарной функции

Положив x = t₂— t_lt получим

Свойство 2. Абсолютная величина корреляционной функции стационарной случайной функции не превышает ее значения в начале координат:

I*, СО К МО).

Доказательство. Для любой случайной функции (см. гл. XXIII, § 10, свойство 4)

В частности, для стационарной функции

КЛ*и *,)=*, СО и D_x(t₁) = D_x(t,) Следовательно,