§ 18. Комплексные случайные величины и их числовые характеристики

В дальнейшем кроме действительных рассматри­ваются и комплексные случайные функции. Эти функции и их характеристики определяют по аналогии с комплекс­ными случайными величинами, поэтому начнем изло­жение с комплексных величин.

Комплексной случайной величиной называют величину 2 = X-\-Yi, где X и Y—действительные случайные ве­личины.

413

Сопряженной случайной величине Z*=X-\-Yi назц. вают случайную величину Z = X — Yi.

Обобщим определения математического ожидания _и дисперсии на комплексные случайные величины так, чтобы в частности, при F = 0 эти характеристики совпали с р_а1 нее введенными характеристиками действительных слу. чайных величин, т. е. чтобы выполнялись требования:

т_г = т_х, (*)

Математическим ожиданием комплексной случайной величины Z — X + Yi называют комплексное число

т_г = т_х + m_yi.

В частности, при у = 0 получим т_г = т_х, т. е требо­вание (*) выполняется.

Дисперсией комплексной случайной величины Z назы­вают математическое ожидание квадрата модуля центри­рованной величины Z:

В частности, при Y = 0 получим D_g = М[(X)²] = D_x, т.е. требование (**) выполняется.

Учитывая, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, имеем

Итак, дисперсия комплексной случайной величины равна сумме дисперсий ее действительной U мнимой частей:

Известно, что корреляционный момент двух равных случайных величин Х_Х = Х₂ = Х равен дисперсии D_x — положительному действительному числу. Обобщим опре­деление корреляционного момента так, чтобы, в частности, корреляционный момент двух равных комплексных слу­чайных величин Z₁ = Z₂ = Z был равен дисперсии D_z-~ положительному действительному числу, т. е. чтобы вы­полнялось требование

414

Корреляционным моментом двух комплексных случай­ных величин называют математическое ожидание произ­ведения отклонения одной из величин на сопряженное отклонение другой:

_t Z_t].

p частности, при Z₁ = Z₂==Z, учитывая, что произведение сопряженных комплексных чисел равно квадрату их мо­дуля, получим

т, е. требование (***) выполняется.

Корреляционный момент комплексных случайных ве­личин Z_l^X_l + YJ и Z_% = X_i + Y₂i выражается через корреляционные моменты действительных и мнимых ча­стей этих величия следующей формулой:

О***,—V-x_lVt) i. (****)

Рекомендуем вывести эту формулу самостоятельно.

§ 19. Комплексные случайные функции и их характеристики

Комплексной случайной функцией называют функцию

где X (t) и Y (t)—действительные случайные функции действительного аргумента /.

Обобщим определения математического ожидания и дисперсии на комплексные случайные функции так, чтобы, в частности, при Y = 0 эти характеристики совпали с ра­нее введенными характеристиками для действительных случайных функций, т. е. чтобы выполнялись требования-

m_z(t)=m_x(t), _v*)

D_t(t) = DAt). (**)

Математическим ожиданием комплексной случайной Функции Z(t) = X (t) 4- Y (t) i называют комплексную Функцию (неслучайную)

415

В частности, при У = 0 получим m_z(t) = m_x(t), т.е. _тр_е. бование (*) выполняется.

Дисперсией комплексной случайной функции Z(t) _Ha_ зывают математическое ожидание квадрата модуля центри. рованной функции Z(t):

В частности, при У = 0 получим D_z (t) = M [X (Щ* -, = D_x(t), т. е. требование (**) выполняется.

Учитывая, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, имеем

D_g(t) = M[\Z (О /»] = М {[X (/)]■ + [Y (/)]•} = = М[Х (/)]»+ М [Y (О? = D_x (0 + D_y (0.

Итак, дисперсия комплексной случайной функции равна сумме дисперсий ее действительной и мнимой частей:

Известно, что корреляционная функция действитель­ной случайной функции X (t) при разных значениях аргу­ментов равна дисперсии D_x{t). Обобщим определение корреляционной функции на комплексные случайные функции Z(t) так, чтобы при равных значениях аргу­ментов ty = t₂ — t корреляционная функция K_z(t, t) была равна дисперсии D_z(t), т. е. чтобы выполнялось требо­вание

/С, ('. 0 = 0,(0- (***)

Корреляционной функцией комплексной случайной функции Z (t) называют корреляционный момент сечений

/ C,(*_lt /,) = Л1 В частности, при равных значениях аргументов

К At, t) =

т. е. требование (***) выполняется.

Если действительные случайные функции X (/) и Y (О коррелированы, то

416

»сли X (t) и Y (t) не коррелированы, то

K.ih. t*)=KA*i. tJ + Kyih, t,).

Рекомендуем убедиться в справедливости этих формул, }спользуя соотношение (****) предыдущего параграфа. ' Обобщим определение взаимной корреляционной функ­ции на комплексные случайные функции Z_l{t) = X₁(t) + -\-Y_x(t)i и Z_t(t) = X₂(t) + Y_t(t) i так, чтобы, в частности, при Y₁ — Y_i = 0 выполнялось требование

*«,,,('i. t_a) = R_XlXt(t_lt t_t). (****)

Взаимной корреляционной функцией двух комплексных случайных функций называют функцию (неслучайную)

Я „«.(<1. t_i) M[Z₁(t_l)Z, |fe частности, при Y₁ = Y_a — 0 получим

s |r. e. требование (****) выполняется.

> Взаимная корреляционная функция двух комплексных случайных функций выражается через взаимные корре­ляционные функции их действительных и мнимых частей следующей формулой:

+ [/?*,„.(<.. '.)-/?*,„,(Л. '.)]'• Рекомендуем вывести эту формулу самостоятельно.

Задачи

1. Найти математическое ожидание случайных функций:

a) X(t) = Ut², где U — случайная величина, причем M(U) = b; б) X (t) = U cos 2t-\-Vt, где U и V—случайные величины, причем M(U) = 3, M(V) = 4.

Отв. a) m_x(t) = bt²; б) m_x(t) = Zcos2t+Al.

2. Задана корреляционная функция К_х (t_x, t₂) случайной функ­ ции X (t). Найти корреляционные функции случайных функций- а) У(/) = Л(/)4-/; б) Y (/) = (/ + !) X (t); в) К(/) = 4Л(/).

Отв. а) /(„(/,, /J = /C,(/i, /₂); б) K_u(t_u t_i) = (t_l+ I) (/_t+l)X Xf*(/i, '2); в) /C_w(/,, t^=l6K_x(ti, /,).

3. Задана дисперсия D_x (/) случайной функции Л (/). Найти Дисперсию случайных функций: a) Y (/)= X (/) + е'; б) К(/) = /Х(/).

Оли. a) D_v(t) = D_x(l); б) D_y(l) = t²D_x(t).

4. Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функ- Чию; в) дисперсию случайной функции X (/) = U sin 2/, где £/ — слу­ чайная величина, причем УИ (С) = 3, D(U) — 6.

14-181 417

Отв. а) т_х (0 = 3 sin 2t; б) К_х (t_u t_t) = 6 sin 2t_x sin 2/.. в) D_x(/)=6sin²2f.

5. Найти нормированную корреляционную функцию случайной функции X (t), зная ее корреляционную функцию К_х (<ь t_t) =- -3cos(/, —/i).

O/ne. p_x(/!, /₂) = cos(/,—fj).

6. Найти: а) взаимную корреляционную функцию; б) нормирован­ ную взаимную корреляционную функцию двух случайных функций X(t) = (t + l)U и Y(t) = (t*+l)U, где U — случайная величина, причем D(U) = 7.

Отв. a) R_xy(t_u /₂)=7(/₁+1) (^1+1); б) p_xy(t_lt t₂) = l.

7. Заданы случайные функции X (() = (( — \)U и Y(t) = t*U, где U и V — некоррелированные случайные величины, причем M(t/) = 2, M(V)=3, D(L0 = 4, D(V)=5. Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию суммы Z(t) =

X(t) + Y(t)

Указание. Убедиться, что взаимная корреляционная функция заданных случайных функций равна нулю и, следовательно, X (t) и Y (t) не коррелированы.

Отв. a) m,(/) = 2(f —1) + 3<«; б) K_t(t_u t_a) = 4(t_l—l)(t,-l) +

bl; в) D₂(0 = 4(/-l)² + 6/⁴.

8. Задано математическое ожидание m_x(t) =t*-\-l случайной функции X (t). Найти математическое ожидание ее производной.

Отв. т-_х (t) = 2t.

9. Задано математическое ожидание т_х(/)=** + 3 случайной

Функции X (t). Найти математическое ожидание случайной функции ■ (*) = <*'(*) + ''•

Отв. от_у(/) = Я(/ + 2).

10. Задана корреляционная функция K_x{t_lt /₂) = е-<*1-*1^>2 слу­ чайной функции л (t). Найти корреляционную функцию ее произ­ водной.

Отв. K_x(t_x, /₂) = 2e~"»-<.>^t[l-2tf₂-/₁)^!B].

11. Задана корреляционная функция K_x(t_lt /₂) = e-⁽'i-^<i^)I слу­ чайной функции X (t). Найти взаимные корреляционные функии"* •) R_xx «ь '•>; б) R_ix (/ь ^_s).

Отв. а) Я^Сь /₂)=-2(^-^₁)е-«.-*.)¹; б) Я. (/_lf h) **

-2 (/,-/!> е-«1-*Л **

12. Задано математическое ожидание /л* (/) = 4^^s случайной фу^н"'

ции X (/). Найти математическое ожидание интеграла Y (/) = С X («) ^^5#

Ome. m_y(t) = t*.

13. Задана случайная функция X (/) = £/ cos² <, где U— ? ная величина, причем М((/)=2. Найти математическое

t

случайной функции Y (t) = (t*-{-l) С X(s)ds.

о Ome. m_v (0 = (/* + !)[< + (sin 2/)/2].

418

14. Задана корреляционная функция K_x(ti, t_t) = cose)(icosa>t_a ^чайной функции X (t). Найти: а) корреляционную функцию;

i

дисперсию интеграла Y (t) = С X (s) ds.

о Отв. a) K_v(t_{lt /2) =} ^s'"^iS'"^2. _б)

15*. Задана случайная функция X (t) = Ue^3t cos 2t, где if — слу­чайная величина, причем М (U) = 5, D(U) = \. Найти: а) математи­ческое ожидание, б) корреляционную функцию, в) дисперсию интег­рала Y (t) = ^ X (s) ds.

о

Отв. а) т_х (t) = 5e^3t cos It;

6) Kyi*!, t₂) = (l/169)[e^3<i(2sin 2^ + 3 cos 2/_x) — 3] [e³'» (2 sin 2/₂ + + 3 cos 2t_% — 3]; в) D_y (t) = (1/169) [e³* (2 sin 2/ + 3 cos 2() — 3]².

16. Задана корреляционная функция K_x(ty, t₂) = titl случайной функции X (t). Найти взаимные корреляционные функции: a) R_xy (ti, /j);

б) Ry_X (t\, t₂) случайных функций X (t) и Y (t) — \ X (s) ds.

о Отв. a) R_xy(ti, t₂) = titl/3; 6) R_yx(ti, t₂)--

Глава двадцать четвертая

СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ