§ 17. Интеграл от случайной функции и его характеристики

Интегралом от случайной функции X (t) no отрезку [0, t] называют предел в среднеквадратическом интегральной суммы при стремлении к нулю частичного интервала As,- максимальной длины (переменная интегри­рования обозначена через s, чтобы отличить ее от пре­дела интегрирования t):

t V^r(O = l.i.m.2JX(s_/)As_/=S X{s)ds.

Пусть известны характеристики случайной функции. Как найти характеристики интеграла от случайной функ­ции? Ответ на этот вопрос дают теоремы, приведенные ниже.

Теорема t. Математическое ожидание интеграла от случайной функции равно интегралу от ее математи­ческого ожидания:

если

t

о

По

t

о Доказательство. По определению интеграла,

409

Приравняем математические ожидания обеих частей р_а. венства:

М [Y (t)] = М Г Li.т. 2 ^х («/) ^As«l •

Изменим порядок нахождения математического ожи­дания и предела (законность изменения порядка этих операций примем без доказательства):

M[Y(t)]= Hm [M2*(s,-)As/].

As₍- -* О

Воспользуемся теоремой сложения математических ожиданий:

M[Y(t)]= lim 2^m*(^s<)As«-

Учитывая, что 2^m*(^s«)A^si — интегральная сумма функции m_x(s), окончательно получим

t

т_у (/) = J m_x (s) ds. о

Замечание. По существу доказано, что операции нахождения математического ожидания и среднеквадратичного интегрирования можно менять местами. Действительно, запишем доказанную тео­рему так:

I п I

М

Lo

Видим, что в левой части равенства сначала находят интеграл, а затем математическое ожидание; в правой части — наоборот.

Пример 1. Зная математическое ожидание m_x(t) = 2t-\-\ случай­ной функции X (*), найти математическое ожидание интеграла

о

Решение. Искомое математическое ожидание t t

т_у(*)=\ m_x(s)ds=^ (2s+l)ds= t* + t. о о

Теорема 2. Корреляционная функция интеграла от случайной функции X (t) равна двойному интегралу от ее корреляционной функции:

410

" если

то

tt t,

К_у (t_lt t_t) = $ J K_x (s_lt s_s) ds_t ds_a.

о о

Доказательство. По определению корреляцион­ной функции,

Центрированная случайная функция

/ t

или

Поскольку под знаком определенного интеграла перемен­ную интегрирования можно обозначать любой буквой, обозначим переменную интегрирования в одном интеграле через s_x, а в другом—через s_t (чтобы отличить перемен­ные интегрирования и пределы интегрирования):

Y (t_t) = S X ОО ds_lt Y (t₂) = J X (s_t) ds_t. о о

Следовательно,

t, t, tx t_t

* Hi) Y (t_t) = J X (sj ds_t J X (s.) ds₂ = J J A¹ (s_t) * (s₂) ds_t rfs,.

О 0 0 0

Приравняем математические ожидания обеих частей ра­венства:

М [Y (О Y (*,)] = М J J X (sj X (s.) ds, ds_t .

Lo о J

'411

Изменив порядок операций нахождения математичес-кого ожидания и интегрирования, окончательно получим

<. t,

Ку (*i, '•)=?$ #* (^sl> ^s*) ^dsi ^ds*- (**)

О О

Пример 2. Зная корреляционную функцию К_х (ti> tt} = ^tit_t ~\. -\-9tft% случайной функции X (t), найти корреляционную функцию

интеграла Y (t) = \ X (s) ds.

О Решение. Используя формулу (**), найдем

tit,

о о

Выполнив интегрирование, получим искомую корреляционную функ­цию:

Теорема 3. Взаимная корреляционная 4/ункция случай-

ч

ной функции X (t) и интеграла Y (t) = ^ X (s) ds равна

о

интегралу от корреляционной функции случайной функ­ции X(t):

t,

a) R_Xy(t₁,t₂)=^<SK_x(t₁, s)ds; о

Доказательство, а) По определению взаимной корреляционной функции,

В силу соотношения (*) центрированная функция

следовательно,

412

Подставим правую часть этого равенства в (***):

\ X(t₁)ix(s)ds\^M\ I X{t₁)X{s)ds .

Операции нахождения математического ожидания и интегрирования можно менять местами (см. § 17, заме­чание), поэтому

t,

R_xy(t_lt /,) = JM[X(/_I)^(s)]ds_f

о

или окончательно

t,

Rx_VVi. t_t) = lK_x(tt. s)ds.

о

б) Доказывается аналогично.

Пример 3. Задана корреляционная функция K_x(h, 'г) = 3<1<2 случайной функции X (t). Найти взаимную корреляционную функцию

R_xy(t\, t₂) случайной функции X (t) и Y (t) == \ X (s) ds.

о Решение. Используя формулу

t,

RxvVi. t₂)=^K_x(t_lf s)ds, о

получим искомую корреляционную функцию:

RxyVi. 'i) = 3/_x J sds = (3/2)^1.