§ 16. Производная случайной функции и ее характеристики

При изучении случайных величин встречалось понятие сходимости по вероятности. Для изучения слу­чайных функций необходимо ввести среднеквадратичную сходимость.

Говорят, что последовательность случайных величин Х_и Х₂, ..., Х_п, ... сходится в среднеквадратичном к слу­чайной величине X, если математическое ожидание квад­рата разности Х_п — X стремится к нулю при п—»-оо:

Случайную величину X называют пределом в среднеквад­ратичном последовательности случайных величин X_t, X_it .... Х_п, ... и пишут

405

Заметим, что из среднеквадратичной сходимости еле, дует сходимость по вероятности; обратное утверждение вообще говоря, неверно.

Случайную функцию X (/) называют дифференцирую мой, если существует такая функция X' (t) (ее называют производной), что

И так, производной случайной функции X (О называют среднеквадратичный предел отношения приращения функ­ции к приращению аргумента &.t при Д£—»-0:

X (t) = U.m. _Tt .

Пусть известны характеристики случайной функции. Как найти характеристики ее производной? Ответ на этот вопрос дают теоремы, приведенные ниже, причем рас­сматриваются только среднеквадратично дифференцируемые случайные функции.

Теорема 1. Математическое ожидание производной X'(t) = x от случайной функции X(t) равно производной от ее математического ожидания:

Доказательство. По определению производной, л (0 = 1.1.т. -г- .

Приравняем математические ожидания обеих частей ра­венства, а затем изменим порядок нахождения матема­тического ожидания и предела (законность изменения по­рядка этих операций примем без доказательства):

М [X' (0] = HmAf [X(H-AQ-x<Qi|. Используя свойства математического ожидания, получим

М [X' (0] = Km ^т*^(<+Дд!-^т*⁽⁰ = т'_х(0. Итак, m-{t) = m'_x(t).

406

Замечание 1. По существу доказано, что для среднеквадра-фически дифференцируемых случайных функций операции нахождения математического ожидания и дифференцирования можно менять ме-_сгпами. Действительно, запишем доказанную теорему так:

М[Х' (t))=,{M[

д!ы видим, что в левой части равенства сначала находят производ­ную, ^а затем математическое ожидание; в правой части — наоборот.

Пример 1. Зная математическое ожидание m_x(t) = t²-\-t случай­ной функции X (t), найти математическое ожидание ее производной.

Решение. Искомое математическое ожидание

Замечание 2. Если первая производная дифференцируема, то производную от первой производной называют второй производной _и обозначают через X" (t). Аналогично определяют производные более высоких порядков.

Замечание 3. Теорему 1 можно обобщить: математическое ожидание производной порядка п равно производной этого же по­рядка от математического ожидания случайной функции.

Теорема 2. Корреляционная функция производной от случайной функции X (t) равна второй смешанной произ­водной от ее корреляционной функции:

к it t \

Доказательство. По определению корреляцион­ной функции,

Представим произведение производных как вторую смешанную частную производную:

Следовательно,

к U t\ M К_х (t_lt t_t) = М

Изменив порядок операций нахождения математического ожидания и дифференцирования (на основании замеча­ния 1), окончательно получим

Итак,

к Ki(t_t, t₂) =- _{Й1 а/а}

407

Пример 2. Зная корреляционную функцию К_х (t_t, /»)= 21^₂\^ случайной функции X (/), найти корреляционную функцию ее произ! водной.

Решение. Найдем частную производную от заданной корр_е. ляционной функции по (_г:

дК_х (h, t₂) diVjtz + tltl) о

д7Г~⁼⁼ dfi ^{2 + х 2}"

Найдем частную производную от полученного результата по t₂:

(t_u t₂) d(2

dt.dt, д

Искомая корреляционная функция

Теорема 3. Взаимная корреляционная функция случай­ной функции X (t) и ее производной X' (t) ~ x равна част­ной производной от корреляционной функции по соот­ветствующему аргументу [если индекс х при R записан на первом (втором) месте, то дифференцируют по пер­вому (второму) аргументу]:

Д оказательство.

а) По определению взаимной корреляционной функ­ции двух функций X(t) и X'(t) = x,

Изменим порядок операций дифференцирования и нахождения математического ожидания:

R.(t t ) ^-^{дМ [}* ⁽'^l} *^(/z)1 --^ак* ^{((lt /а)} Итак, искомая взаимная корреляционная функция

б ) Доказывается аналогично. 408

Пример 3. Задана корреляционная функция К_х (<i, /») i_s случайной функции X(t). Найти взаимную корреляционную функ-

ю R_xx{t_l, t_t).

Решение. Воспользуемся формулой

Выполнив дифференцирование заданной корреляционной функции по t₂, получим

И так, искомая взаимная корреляционная функция