§ 13. Свойства взаимной корреляционной функции

Свойство 1. При одновременной перестановке индексов и аргументов взаимная корреляционная функция не изменяется:

Свойство 2. Прибавление к случайным функциям X(t) и Y (t) неслучайных слагаемых, соответственно <р(0 и г(>(0» ^не изменяет их взаимной корреляционной функции-

если

то

400

Свойство 3. При умножении случайных функций X (0 и Y (t) на неслучайные множители, соответственно Ф (t) и i|) (t), взаимная корреляционная функция умно­жается на произведение <p(*)(*)

если

(ПО

Свойство 4. Абсолютная величина взаимной корре­ляционной функции двух случайных функций не превы­шает среднего геометрического их дисперсий:

Доказательства этих свойств аналогичны доказатель­ствам свойств корреляционной функции.

§ 14. Нормированная взаимная корреляционная функция

Наряду с взаимной корреляционной функцией для оценки степени зависимости сечений двух случайных функций пользуются характеристикой — нормированной взаимной корреляционной функцией.

Нормированной взаимной корреляционной функцией двух случайных функций X (t) и Y (t) называют неслучай­ную функцию двух независимых аргументов i, и t₂:

it t ) ^{Rxy {tl}' ^h) = ^{Rxy {h}'^ti]

_x{ti, /,) VK_y(t_t, t₂) _y

Нормированная взаимная корреляционная функция имеет те же свойства, что и взаимная корреляционная Функция (см. § 13), причем свойство 4 заменяется сле­дующим свойством: абсолютная величина нормированной взаимной корреляционной функции не превышает единицы:

* ' VK{t /) V

Пример. Найти нормированную взаимную корреляционную функ- двух случайных функций X(t) = tU и К(/) = /²1/, где U— слу­чайная величина, причем D(U) = 3.

Решение. Ранее при решении примера (см. § 12), в котором ?аданы те же функции, что и в настоящем примере, были найдены Функции:

401

Пользуясь этими результатами, легко найдем корреляционные функции:

Kxih, h) = и нормированную функцию:

it t)-r. Bxv

^v ' VK{tt

Итак, искомая нормированная взаимная корреляционная функция

Заметим, что функция Y (t) связана с X (t) линейной функци­ональной зависимостью:

Y (t) = t*U = t (tU) =* tX (t).

§ 15. Характеристики суммы случайных функций

Пусть X(t) и Y{t)—случайные функции. Найдем характеристики суммы этих функций по известным ха­рактеристикам слагаемых.

Теорема 1. Математическое ожидание суммы двух случайных функций равно сумме математических ожи­даний слагаемых:

если

то

Эта теорема уже была приведена ранее (см. § 5, свой­ство 3); здесь она помещена для систематизации изло­жения. Методом математической индукции теорему можно обобщить на п слагаемых.

Следствие. Математическое ожидание суммы слу­чайной функции X (t) и случайной величины Y равно сумме их математических ожиданий;

если

то

Замечание 1. Центрированная функция суммы случайных функций равна сумме центрированных слагаемых:

если

Z(t) = то

402

¹

i I

От

Действительно,

сюда

t(t) = X (

Теорема 2. Корреляционная функция суммы двух кор­релированных случайных функций равна сумме корреля­ционных функций слагаемых и взаимной корреляционной функции, которая прибавляется дважды (с разным по­рядком следования аргументов):

если

то

К_z(ii> t₂) = KAh, tJ+KyV^ t₂) + R_xy(t_lt t₂) + R_xv(t₂, t_x).

Доказательство. По определению корреляцион­ной функции,

В силу замечания 1

Z(t) = X(t) + Y(t). Следовательно,

Z (*_х) Z (t₂) = [X (tj + У (t_t)] [X (t_t) + ? (*,)].

Выполнив умножение, приравняем математические ожи­дания обеих частей равенства:

м [z (tj г (/₂)] = м [х (t_t) х (t,)]+м[у (t_t) у (t_t)] +

+ М[Х Ц_г) У (t₂)] + M[Y (t_x) X (/,)].

По определению корреляционной и взаимной корреля­ционной функций имеем

Учитывая, что R_yx(t_lt t₂) = R_xy(t₂, t_x) (см. §13, свой­ство 1), окончательно получим

**('i, t_t)=K_x(ti, t₂)+K_y(t_t, t_t)+R_xy(t_lt t₂)+R_xy(t₂, h). (•)

Методом математической индукции теорему можно обобщить на п попарно коррелированных случайных Функций:

403

если то

t_lt tj = S к_х. (t_lt*,) + 2_у z?

^к_г

где индексы i, / второго слагаемого есть размещения чисел 1,2, ..., п, взятых по два.

Следствие 1. Корреляционная функция суммы двух некоррелированных случайных функций равна сумме кор­реляционных функций слагаемых:

если

то

Доказательство. Так как функции X(t) и Y(t) не коррелированы, то их взаимные корреляционные функ­ции равны нулю. Следовательно, соотношение (*) при­мет вид

КЛ*х. t,)=K*(ti, tJ + Kyih, t_t).

Методом математической индукции следствие можно обобщить на п попарно некоррелированных функций.

Замечание 2. В частности, при равных значениях аргумен­тов ^ = ^2 = ^ получим K_z(t, t)=K_x(t, t)+K_y(t, t), или

Итак, дисперсия суммы двух некоррелирован­ных случайных функций равна сумме дисперсий слагаемых.

Следствие 2. Корреляционная функция случайной функции X (t) и некоррелированной с ней случайной вели­чины Y равна сумме корреляционной функции случайной функции и дисперсии случайной величины:

если

то

Пояснение. Случайную величину У можно считать случайной функцией, не изменяющейся при изменений

404

аргумента t:Y{t) = Y при всех значениях t. Тогда Y (t)=Y Л₍ следовательно,

К_у (t_x, t_t) = М [YY] = М [Y*] = D_y.

Пример. Заданы случайные функции X (t) = tl/, Y(t) = t²U, где у и V — некоррелированные случайные величины, причем M(U) — 3, д^(У) = 6, D(U)=0,2, D(V) = 5. Найти: а) математическое ожида­ние: б) корреляционную функцию; в) дисперсию суммы Z(/) = X(f) + + Y(t).

Решение, а) Найдем математическое ожидание суммы задан­ных функций. По теореме 1

_{i y}

б) Найдем корреляционную функцию суммы Z (t). Так как слу­чайные величины У и Уне коррелированы, то их корреляционный комент равен нулю:

M[(U— 3)(V — 6)] = 0. Следовательно, взаимная корреляционная функция

а значит, функции X (t) и Y (t) не коррелированы. Поэтому искомая корреляционная функция в силу следствия 1

К Ah, t_%) = K_x(h, t,) + Ky(t_u t₂). Выполнив выкладки, окончательно получим

K,(h. t^ = 0,2ht»+5titl в) Найдем искомую дисперсию:

DAO = KA*. t) = 0,2/2 _{+ 5}/*.