§11. Нормированная корреляционная функция

Известно, что для оценки степени линейной за. висимости двух случайных величин пользуются коэфф_и] циентом корреляции (см. гл. XIV, § 17, соотношение (#)\

В теории случайных функций аналогом этой характери. стики служит нормированная корреляционная функция

Очевидно, что каждой паре фиксированных значений t_x и t₂ аргумента случайной функции X (t) соответствует определенный коэффициент корреляции K_x{t_x, t₂)/v_x(t₁)o(t₂) соответствующих сечений — случайных величин X (^) _и X (/₂); это означает, что коэффициент корреляции слу­чайной функции есть функция (неслучайная) двух неза­висимых аргументов t₁ и t₂; ее обозначают через р_ж(/₁, t₂).

Дадим теперь определение нормированной корреля­ционной функции.

Нормированной корреляционной функцией случайной функции X (t) называют неслучайную функцию двух неза­висимых переменных t₁ и t₂, значение которой при каж­дой паре фиксированных значений аргументов равно ко­эффициенту корреляции сечений, соответствующих этим же фиксированным значениям аргументов:

Учитывая, что a_x{t_t) = VD_x(t₁) = VK_x(t₁, t_x) и a_x(t₂) = = VK_X (t₂, t₂), получим

(t_lt t.)= , ^K*J!*'U (**)

\ i. ,i y_K(t tjVKAtx. h)

Таким образом, зная корреляционную функцию, можно найти нормированную корреляционную функцию.

Пример. Найти нормированную корреляционную функцию слу* чайной функции X(t) по ее известной корреляционной функции ЛГ*(<1. У =5 cos (Л, — *!).

Решение. Искомая нормированная корреляционная функция

Р, (/i. h) =

(t_lt tj

5 cos (t₂— /i)

cos (<! — t_x) Vb cos (t₂ —1₂) 398

= cos(/₂— t_t).

^f Нормированная корреляционная функция имеет те же свойства, что и корреляционная функция (см. § 10), при­чем свойство 4 заменяется на следующее: абсолютная величина нормированной корреляционной функции не превышает единицы:

свойство следует из того, что при фиксированных значениях аргументов значение нормированной корреля­ционной функции равно коэффициенту корреляции двух случайных величин — соответствующих сечений, а абсо­лютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы (см. гл. XIV, § 17, замечание 3).

Легко видеть из (*) или (**), что при равных значе­ниях аргументов нормированная корреляционная функция равна единице: p_x{t, t)=l.

Очевидно, нормированная корреляционная функция имеет тот же вероятностный смысл, что и коэффициент корреляции: чем ближе модуль этой функции к единице, тем линейная связь между сечениями сильнее; чем ближе модуль этой функции к нулю, тем эта связь слабее.

§ 12. Взаимная корреляционная функция

Для того чтобы оценить степень зависимости сечений двух случайных функций, вводят характери­стику— взаимную корреляционную функцию.

Рассмотрим две случайные функции X (t) и Y(t). При фиксированных значениях аргумента, например t = 1₁ и t = t₂, получим два сечения — систему двух случайных величин X (t_±) и Y (t₂) с корреляционным моментом M[X(tj)Y~ (t_a)]. Таким образом, каждая пара чисел t_t и t_t определяет систему двух случайных величин, а каж­дой такой системе соответствует ее корреляционный мо­мент. Отсюда следует, что каждой паре фиксированных значений t_l и t₂ соответствует определенный корреляци­онный момент; это означает, что взаимная корреляцион­ная функция двух случайных функций есть функция (не­случайная) двух независимых аргументов t_t и t₂; ее обозначают через R_xv{ti, t₂). Дадим теперь определение взаимной корреляционной функции.

Взаимной корреляционной функцией двух случайных Функций Х(0 и Y (t) называют неслучайную функцию ^x,j (t_lt t_z) двух независимых аргументов t_x и t_it значе-

Ш 399

ние которой при каждой паре фиксированных значений аргументов равно корреляционному моменту сечений обеих функций, соответствующих этим же фиксированным зна. чениям аргументов:

RxyV» *,) = Л! [* (*,)?('.)]•

Коррелированными называют две случайные функции, если их взаимная корреляционная функция не равна тождественно нулю.

Некоррелированными называют две случайные функции, взаимная корреляционная функция которых тождественно равна нулю.

Пример. Найти взаимную корреляционную функцию двух слу. чайных функций X (t) = tU и К(/) = /²£/, где U — случайная величина, причем D(U) = 3.

Р е ш е ние. Найдем математические ожидания:

т_х (/) = М (W) = tm_a, m_y(t) = M (W) = Найдем центрированные функции:

Y {t) = Y (t)-m_y(t) = tW -t*m_a = t* (U ~m_u). Найдем взаимную корреляционную функцию:

Итак, искомая взаимная корреляционная функция