§ 7. Свойства дисперсии случайной функции

Используя свойства дисперсии случайной вели­чины, легко получить свойства дисперсии случайной функции.

Свойство 1. Дисперсия неслучайной функции ф (О равна нулю:

О [ф (01 = 0.

Свойство 2. Дисперсия суммы случайной ф X (t) и неслучайной функции ф (/) равна дисперсии

392

%йной функции:

Свойство 3. Дисперсия произведения случайной функции X (t) на неслучайную функцию ф (t) равна про­изведению квадрата неслучайного множителя на диспер­сию случайной функции:

Рекомендуем самостоятельно доказать приведенные свойства, учитывая, что при любом фиксированном зна­чении аргумента случайная функция является случай­ной величиной, а неслучайная функция — постоянной величиной.

Пример. Найти дисперсию случайной функции X(t) = U sin t, где U — случайная величина, причем D(C/) = 6.

Решение. Найдем дисперсию, приняв во внимание, что неслу­чайный множитель sin t можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

D [X (0] = D [U sin t[ = sin² tD (U) = 6 sin² t. Итак, искомая дисперсия D_x (/)=6sin² /.

§ 8. Целесообразность введения корреляционной функции

Математическое ожидание и дисперсия характе­ризуют случайную функцию далеко не полно. Можно привести примеры двух случайных функций, которые имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии, но поведение которых различно. Зная лишь эти две характеристики, в частности, ничего нельзя сказать о степени зависимости двух сечений. Для оценки этой зависимости вводят новую характеристику — корреляци­онную функцию. Далее покажем, что, зная корреляцион­ную функцию, можно найти и дисперсию; поэтому знать закон распределения для отыскания дисперсии нет необ­ходимости. Уже это обстоятельство указывает на целе­сообразность введения корреляционной функции.

Прежде чем перейти к дальнейшему изложению, введем Понятие центрированной случайной функции по аналогии ^с понятием центрированной случайной величины (центри­рованной случайной величиной называют разность между Случайной величиной и ее математическим ожиданием:

393

Центрированной случайной функцией называют р_аз^ ность между случайной функцией и ее математически^ ожиданием:

X(t) = X(t)-m_x(t).

§ 9. Корреляционная функция случайной Функции

Рассмотрим случайную функцию X (/). При двух фиксированных значениях аргумента, например при*=^ и t — t₂, получим два сечения — систему двух случайных величин X (t_x) и X (t₂) с корреляционным моментом ^)Х(г_л)], где

Таким образом, каждая пара чисел t_t и t₂ определяет систему двух случайных величин, а каждой такой системе соответствует ее корреляционный момент. Отсюда сле­дует, что каждой паре фиксированных значений ^ и t₂ соответствует определенный корреляционный момент; это означает, что корреляционный момент случайной функ­ции есть функция (неслучайная) двух независимых аргу­ментов t-i и /₂; ее обозначают через K_x(ti, t₂). В частном случае значения обоих аргументов могут быть равны между собой.

Приведем теперь определение корреляционной функции.

Корреляционной функцией случайной функции X (t) называют неслучайную функцию K_x{t_ly t₂) двух незави­симых аргументов t_t и t₂, значение которой при каждой паре фиксированных значений аргументов равно корре­ляционному моменту сечений, соответствующих этим же фиксированным значениям аргументов:

K_x(t_lt tJ^MiXVJXV,)].

Замечание. При равных между собой значениях аргументов t₁ — t₂ = t корреляционная функция случайной функции равна дис­персии этой функции:

К At, 0 = 0* (О-

Действительно, учитывая, что

D_x{t) = M[X (0-«* (01¹ = М [Я (1)}\ получим

394

Таким образом, достаточно знать корреляционную функцию, чтобы найти дисперсию случайной функции.

Пример. Задана случайная функция X(t)=Ut, где U — случай­ная величина, причем М {U) — 4, D (U)— 10. Найти: а) корреляцион­ную функцию; б) дисперсию заданной случайной функции.

Решение, а) Найдем математическое ожидание:

т_х (t) = M [X (t)] = Найдем центрированную функцию:

X (t) = X (t)—m_x(t)=Ut Отсюда

k(t₁) = (U-4)t_l, k(t

Найдем корреляционную функцию:

К_х d. h)^M [XitJ к (t₂)] = M

Итак, искомая корреляционная функция

б) Найдем дисперсию, для чего положим t₁ = t_t = t

Итак, искомая дисперсия

Щ § 10. Свойства корреляционной функции

Свойство 1. При перестановке аргументов корреляционная функция не изменяется (свойство сим­метрии):

KAh. t.)=KAt». h)-

Доказательство. По определению корреляционной функции,

K_x(t_u t_t) = M[X(t₁)k(t,)]_t K_x{t₂, t_l) = M[X(t_i)X(t_l)].

Правые части этих равенств равны (математическое ожи­дание произведения не зависит от порядка сомножителей), следовательно, равны и левые части. Итак,

КAti. t_t) = KA*,, *i>-

Замечание 1. Прибавление к случайной функции X(t) не­случайного слагаемого <р (/) не изменяет ее центрированной функции:

395

если

Y(t) то

Y (t) = k(t). Действительно, математическое ожидание функции Y (t)

m_v(t) Следовательно,

У V) = Y (t)-m_y(t) = l

= X(t) Итак,

Свойство 2. Прибавление к случайной функции X(t) неслучайного слагаемого <р (t) не изменяет ее корреляцион­ной функции:

если

то

Доказательство. В силу замечания 1

Отсюда К(/₁) = Х(^) и Y(t₂) = X(t₂). Следовательно,

M[Y (QY (t₂)] = M[X {tj X (t₂)]. Итак,

Замечание 2. При умножении случайной функции X{/) на неслучайный множитель ф (/) ее центрированная функция умножается на этот же множитель:

если

Y(t) = X(t)y(t), то

Действительно, математическое ожидание функции Y (/)

m_y(t) = M [X (/) ф (/)] = Ф (0 т_х (t). Следовательно,

Y (t) = Y(t) — m_v V) = [X (0 Ф (/)! —[m* (0 Ф (')]=•

= Ф (0 [^ (t)-m_x (/)] = Ф (0 ^ (0-396

Итак,

Y(t) = X(t)cp(t).

Свойство 3. При умножении случайной функции % (t) на неслучайный множитель ф (t) ее корреляционная функция умножается на произведение ffitj) fp(t_t):

если

то

Доказательство. В силу замечания 2

Y(t) = X(t). Следовательно, К_у (t_lt t_t) = M [У (/,) У (t_%)]=M {[X (t_t) Ф (t_t)] [X (О Ф (/,)]J.

Вынесем неслучайные множители за знак математического ожидания:

К_у (*,. ^,) = Ф (М Ф (f₂) Af [X ( Итак,

Свойство 4. Абсолютная величина корреляционной функции не превышает среднего геометрического дисперсий соответствующих сечений:

Доказательство. Известно, что для модуля кор­реляционного момента двух случайных величин справед­ливо неравенство (см. гл. XIV, § 17, теорема 2)

При фиксированных значениях аргументов t₁ и /₂ значе­ние корреляционной функции равно корреляционному Моменту соответствующих сечений—случайных величин X (t_t) и X (/,). Поэтому неравенство (*) можно записать так:

\K_x(t_lt

397