§ 4. Математическое ожидание случайной функции

Рассмотрим случайную функцию X(t). При фиксированном значении аргумента, например при / = / получим сечение—случайную величину X (tj с матема­тическим ожиданием М [X (fj]. (Полагаем, что математи­ческое ожидание любого сечения существует.) Таким образом, каждое фиксированное значение аргумента опре­деляет сечение—случайную величину, а каждой слу­чайной величине соответствует ее математическое ожи­дание. Отсюда следует, что каждому фиксированному значению аргумента t соответствует определенное мате­матическое ожидание; это означает, что математическое ожидание случайной функции есть функция (неслучайная) от аргумента /; ее обозначают через m_x(t). В частном случае функция m_x{t) может сохранять постоянное зна­чение при всех допустимых значениях аргумента. Дадим теперь определение математического ожидания.

Математическим ожиданием случайной функции X (t) называют неслучайную функцию m_x(t), значение которой при каждом фиксированном значении аргумента t равно математическому ожиданию сечения, соответствующего этому же фиксированному значению аргумента:

m_x(t) = M[X(t)].

Геометрически математическое ожидание случайной функции можно истолковать как «среднюю кривую», около которой расположены другие кривые—реализации; при фиксированном значении аргумента математическое ожи­дание есть среднее значение сечения («средняя ордината»), вокруг которого расположены его возможные значения (ординаты).

§ 5. Свойства математического ожидания случайной функции

Используя свойства математического ожидания случайной величины, легко получить свойства математй" ческого ожидания случайной функции.

390

Свойство 1. Математическое ожидание неслучай­ной функции ф(0 равно самой неслучайной функции:

Свойство 2. Неслучайный множитель <р (t) можно выносить за знак математического ожидания:

М [_Ф (О X (t)] = _Ф(0М [X (0] = Ф (0 т_х (/).

Свойство 3. Математическое ожидание суммы двух случайных функций равно сумме математических ожида­ний слагаемых:

Следствие. Для того чтобы найти математическое ожидание суммы случайной и неслучайной функций, доста­точно к математическому ожиданию случайной функции прибавить неслучайную функцию:

Рекомендуем самостоятельно доказать приведенные свойства, учитывая, что при любом фиксированном зна­чении аргумента случайная функция является случай­ной величиной, а неслучайная функция — постоянной величиной. Например, свойство 3 доказывается так: при фиксированном значении аргумента случайные функции X (t) и Y (t) являются случайными величинами, для которых математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Пример. Найти математическое ожидание случайной функции X(t) = Ucost, где U — случайная величина, причем Л4(£/)=2.

Решение. Найдем математическое ожидание, учитывая, что неслучайный множитель cos / можно вынести за знак математического ожидания:

М [X (/)] = М [U cos t] = cos tM (U) = 2 cos t. Итак, искомое математическое ожидание m_x(t) — Z cos Л

§ 6. Дисперсия случайной функции

Рассмотрим случайную функцию X {t). При фиксированном значении аргумента, например при t = t_lt Получим сечение—случайную величину X (^) с диспер­сией D[X(/₁)]^=0 (предполагается, что дисперсия любого сечения существует). Таким образом, каждое фиксирован-

391

ное значение аргумента определяет сечение — случайную величину, а каждой случайной величине соответствую ее дисперсия. Отсюда следует, что каждому фиксирован ному значению аргумента t соответствует определенная дисперсия; это означает, что дисперсия случайной функ­ции есть функция (неслучайная, причем неотрицательная) от аргумента /; ее обозначают через D_x (t). В частном случае D_x (t) может сохранять постоянное значение при всех допустимых значениях аргумента. Дадим теперь определение дисперсии.

Дисперсией случайной функции X (t) называют неслу-чайную'неотрицательнуюфункциюДДО, значение которой при каждом фиксированном значении аргумента t равно дисперсии сечения, соответствующего этому же фиксиро­ванному значению аргумента:

Дисперсия характеризует степень рассеяния возмож­ных реализаций (кривых) вокруг математического ожи­дания случайной функции («средней кривой»). При фик­сированном значении аргумента дисперсия характеризует степень рассеяния возможных значений (ординат) сечения вокруг математического ожидания сечения («средней ординаты»).

Часто вместо дисперсии рассматривают среднее квад-ратическое отклонение случайной функции, которое определяют по аналогии со средним квадратическим отклонением случайной величины.

Средним квадратическим отклонением случайной функ­ции называют квадратный корень из дисперсии: