§ 3. Корреляционная теория случайных функций

Как известно, при фиксированном значении ар­гумента случайная функция является случайной величи­ной. Для задания этой величины достаточно задать закон ее распределения, в частности одномерную плотность вероятности. Например, случайную величину X_t — XitJ можно задать плотностью вероятности / (х_х); в теории случайных функций ее обозначают через /_х (x_x; f_x); здесь индекс 1 при / указывает, что плотность вероятности одномерная, t_t—фиксированное значение аргумента t, х,—возможное значение случайной величины X₁ = X(t_l)-Аналогично, через f_x (x₂; t₂), f₁ (x₃; t₃) и т. д. обозначают одномерные плотности вероятности сечений Х₂ = Х((₃), X_a = X(t₃) и т.д. Одномерную плотность вероятности любого сечения обозначают через f₁(x; t), подразумевая, что аргумент / принимает все допустимые значения. Например, если случайная функция X{t) распределена нормально с параметрами m_x(t)~4, a_x(t) — 3, то

388

Хотя функция /j (x; t) полностью характеризует каж­дое отдельно взятое сечение, нельзя сказать, что она полностью описывает и саму случайную функцию. (Ис­ключением является случай, когда любой набор сечений образует систему независимых случайных величин.) Например, зная лишь одномерную функцию распределения сечения, невозможно выполнять над случайной функцией операции, требующие совместного рассмотрения совокуп­ности сечений.

В простейшем случае совместно рассматривают два сечения: X₁ — X(t₁) и X₂ = X(t₂), т.е. изучают систему двух случайных величин (Х_г, Х₂). Известно, что эту систему можно задать двумерным законом распределения, в частности двумерной плотностью вероятности f (x_lt х_%). В теории случайных функций ее обозначают через /₂ (^xi> ^X2' h> t*)' здесь индекс 2 при / указывает, что плотность вероятности двумерная; t_t и t₂— значения ар­гумента /; x_lt x₂ — возможные значения случайных вели­чин, соответственно X₁ = X(t₁) и Х₂ = X (t₂).

Хотя двумерный закон распределения описывает слу­чайную функцию более полно, чем одномерный (по из­вестному двумерному можно найти одномерный закон), он не характеризует случайную функцию исчерпывающим образом (исключением являются случаи, когда случайная функция распределена нормально или представляет собой марковский случайный процесс).

Аналогично обстоит дело и при переходе к трехмер­ным, четырехмерным распределениям и т. д. Поскольку такой способ изучения случайных функций является, вообще говоря, громоздким, часто идут по другому пути, не требующему знания многомерных законов распределе­ния, а именно изучают моменты, причем ограничиваются моментами первых двух порядков.

Корреляционной теорией случайных функций называют теорию, основанную на изучении моментов первого и второго порядка. Эта теория оказывается достаточной Для решения многих задач практики.

В отличие от случайных величин, для которых моменты являются числами и поэтому их называют числовыми характеристиками, моменты случайной функции явля­ются неслучайными функциями (их называют характеристиками случайной функции).

Ниже рассматриваются следующие характеристики случайной функции: математическое ожидание (начальный

389

момент первого порядка), дисперсия (центральный ен второго порядка), корреляционная функция (корр_ел„ ционный момент).