- •§ 1. Испытания и события
- •§ 2. Виды случайных событий
- •§ 3. Классическое определение вероятности
- •§ 4. Основные формулы комбинаторики
- •§ 5. Примеры непосредственного вычисления вероятностей
- •§ 6. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты
- •§ 7. Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая вероятность
- •§ 8. Геометрические вероятности
- •§ 1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •§ 2. Полная группа событий
- •§ 4. Принцип практической невозможности маловероятных событий *
- •§ 1. Произведение событий
- •§ 2. Условная вероятность
- •§ 3. Теорема умножения вероятностей
- •§ 4. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий
- •§ 5. Вероятность появления хотя бы одного события
- •§ 1. Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •§ 2. Формула полной вероятности
- •§ 3. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса
- •§ 1. Формула Бернулли
- •§ 2. Локальная теорема Лапласа
- •§ 3. Интегральная теорема Лапласа
- •§ 4. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •§ 1. Случайная величина
- •§ 2. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •§ 3. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •§ 4. Биномиальное распределение
- •§ 5. Распределение Пуассона
- •§ 6. Простейший поток событий
- •§ 7. Геометрическое распределение
- •§ 8. Ги пер геометрическое распределение
- •§ 1. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •§ 2. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •§ 3. Вероятностный смысл математического ожидания
- •§ 4. Свойства математического ожидания
- •§ 5. Математическое ожидание числа появлг I события в независимых испытаниях
- •§ 1. Целесообразность введения числовой характеристики рассеяния случайной величины
- •§ 2. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания
- •§ 3. Дисперсия дискретной случайной величины
- •§ 4. Формула для вычисления дисперсии
- •§ 5. Свойства дисперсии
- •§ 6. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях
- •§ 7. Среднее квадратическое отклонение
- •§ 8. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин
- •§ 9. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины
- •§ 10. Начальные и центральные теоретические моменты
- •§ 1. Предварительные замечания
- •§ 2. Неравенство Чебышева
- •§ 3. Теорема Чебышева
- •§ 4. Сущность теоремы Чебышева
- •§ 5. Значение теоремы Чебышева для практики
- •§ 6. Теорема Бернулли
- •§ 1. Определение функции распределения
- •§ 2. Свойства функции распределения
- •§ 3. График функции распределения
- •3. Дискретная случайная величина X задана законом распрс. Деления
- •§ 1. Определение плотности распределения
- •§ 2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
- •§ 3. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения
- •§ 4. Свойства плотности распределения
- •§ 5. Вероятностный смысл плотности распределения
- •§ 6. Закон равномерного распределения вероятностей
- •§ 1. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •§ 2. Нормальное распределение
- •§ 3. Нормальная кривая
- •§ 4. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой
- •§ 5. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
- •§ 6. Вычисление вероятности заданного отклонения
- •§ 7. Правило трех сигм
- •§ 8. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы
- •§ 9. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс
- •§10. Функция одного случайного аргумента и ее распределение
- •§ 11. Математическое ожидание функции одного случайного аргумента
- •§ 12. Функция двух случайных аргументов. Распределение суммы независимых слагаемых. Устойчивость нормального распределения
- •§ 13. Распределение «хи квадрат»
- •§ 14. Распределение Стьюдента
- •§ 15. Распределение f Фишера — Снедекора
- •§ 1. Определение показательного распределения
- •§ 2. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины
- •§ 3. Числовые характеристики показательного распределения
- •§ 4. Функция надежности
- •§ 5. Показательный закон надежности
- •§ 6. Характеристическое свойство показательно,, закона надежности
- •§ 1. Понятие о системе нескольких случайных величин
- •§ 2. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
- •§ 3. Функция распределения двумерной случайной величины
- •§ 4. Свойства функции распределения двумерной случайной величины
- •§ 5. Вероятность попадания случайной точки в полуполосу
- •§ 6. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник
- •§ 7F Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной, двумерной случайной величины (двумерная плотность вероятности)
- •§ 8. Нахождение функции распределения системы по известной плотности распределения
- •§ 9. Вероятностный смысл двумерной плотности вероятности
- •§ 10. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область
- •§11. Свойства двумерной плотности вероятности
- •§ 12. Отыскание плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины
- •§ 13. Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин
- •§ 14. Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин
- •§ 15. Условное математическое ожидание
- •§ 16. Зависимые и независимые случайные величины
- •§ 17. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •§ 18. Коррелированность и зависимость случайных величин
- •§ 19. Нормальный закон распределения на плоскости
- •§ 20. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии
- •§ 21. Линейная корреляция. Нормальная корреляция
- •1. Найти законы распределения составляющих дискретной двумерной случайной величины, заданной законом распределения
- •§ 1. Задачи математической статистики
- •§ 2. Краткая историческая справка
- •§ 3. Генеральная и выборочная совокупности
- •§ 4. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка
- •§ 5. Способы отбора
- •§ 6. Статистическое распределение выборки
- •§ 7. Эмпирическая функция распределения
- •§ 8. Полигон и гистограмма
- •§ 1. Статистические оценки параметров распределения
- •§ 2. Несмещенные, эффективные и состоятельны оценки е
- •§ 3. Генеральная средняя
- •§ 4. Выборочная средняя
- •§ 5. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних
- •§ 7. Отклонение от общей средней и его свойств
- •§ 8. Генеральная дисперсия
- •§ 9. Выборочная дисперсия
- •§ 10. Формула для вычисления дисперсии
- •§11. Групповая, внутри групповая, межгрупповая и общая дисперсии
- •§ 12. Сложение дисперсий
- •§ 13. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной
- •§ 14. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал
- •§15. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном о
- •§ 16. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном о
- •§ 17. Оценка истинного значения измеряемой величины
- •§ 18. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения а нормального распределения
- •§ 19. Оценка точности измерений
- •§ 20. Оценка вероятности (биномиального распределения) по относительной частоте
- •§ 21. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения
- •§ 22. Метод наибольшего правдоподобия
- •§ 23. Другие характеристики вариационного ряда
- •§ 1. Условные варианты
- •§ 2. Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты
- •§ 3. Условные эмпирические моменты. Отыскание центральных моментов по условным
- •§ 4. Метод произведений для вычисления выборочных средней и дисперсии
- •§ 5. Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим
- •§ 6. Эмпирические и выравнивающие (теоретические) частоты
- •§ 7. Построение нормальной кривой по опытным данным
- •§ 8. Оценка отклонения эмпирического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс
- •§ 1. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости
- •§ 2. Условные средние
- •§ 3. Выборочные уравнения регрессии
- •§ 4. Отыскание параметров выборочного уравнения Прямой линии среднеквадратичной регрессии по несгруппированным данным
- •§ 5. Корреляционная таблица
- •§ 7. Выборочный коэффициент корреляции
- •§ 8. Методика вычисления выборочного коэффициента корреляции
- •§ 9. Пример на отыскание выборочного уравнения прямой линии регрессии
- •§ 10. Предварительные соображения к введению меры любой корреляционной связи
- •§ 11. Выборочное корреляционное отношение
- •§ 12. Свойства выборочного корреляционного отношения
- •§13. Корреляционное отношение как мера корреляционной связи. Достоинства и недостатки этой меры
- •§ 14. Простейшие случаи криволинейной корреляции
- •§ 15. Понятие о множественной корреляции
- •§ 1. Статистическая гипотеза. Нулевая
- •§ 2. Ошибки первого и второго рода
- •§ 3. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение критерия
- •§ 4. Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки
- •§ 5. Отыскание правосторонней критической области
- •§ 6. Отыскание левосторонней и двусторонней критических областей
- •§ 7. Дополнительные сведения о выборе критической области. Мощность критерия
- •§ 8. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •§ 9. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности
- •§ 10. Сравнение двух средних нормальных
- •"Набл — ,...-. .....» . — 1 fV/o#
- •§ 12. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки)
- •§ 13. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности
- •§ 14. Связь между двусторонней критической областью и доверительным интервалом
- •§ 15. Определение минимального объема выборки при сравнении выборочной и гипотетической генеральной средних
- •§16. Пример на отыскание мощности критерия
- •§ 17. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки)
- •§ 18. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события
- •§ 19. Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений
- •§ 20. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам различного объема. Критерий Бартлетта
- •§ 21. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам одинакового объема. Критерий Кочрена
- •§ 22. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции
- •§ 24. Методика вычисления теоретических частот нормального распределения
- •§ 25. Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена и проверка гипотезы о его значимости
- •§ 26. Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла и проверка гипотезы о его значимости
- •§ 27. Критерий Вилкоксона и проверка гипотезы об однородности двух выборок
- •§ 1. Сравнение нескольких средних. Понятие о дисперсионном анализе
- •§ 2. Общая факторная и остаточная суммы квадратов отклонений
- •§ 3. Связь между общей, факторной и остаточной суммами
- •§ 4. Общая, факторная и остаточная дисперсии
- •§ 5. Сравнение нескольких средних методом дисперсионного анализа
- •§ 1. Предмет метода Монте — Карло
- •§ 2. Оценка погрешности метода Монте — Карло
- •§ 3. Случайные числа
- •§ 4. Разыгрывание дискретной случайной величины
- •§ 5. Разыгрывание противоположных событий
- •§ 6. Разыгрывание полной группы событий
- •§ 7. Разыгрывание непрерывной случайной величины. Метод обратных функций
- •§ 8. Метод суперпозиции
- •§ 9. Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины
- •§ 1. Цепь Маркова
- •§ 2. Однородная цепь Маркова. Переходные вероятности. Матрица перехода
- •§ 3. Равенство Маркова
- •§ 1. Основные задачи
- •§ 2, Определение случайной функции
- •§ 3. Корреляционная теория случайных функций
- •§ 4. Математическое ожидание случайной функции
- •§ 5. Свойства математического ожидания случайной функции
- •§ 6. Дисперсия случайной функции
- •§ 7. Свойства дисперсии случайной функции
- •§ 8. Целесообразность введения корреляционной функции
- •§ 9. Корреляционная функция случайной Функции
- •§11. Нормированная корреляционная функция
- •§ 12. Взаимная корреляционная функция
- •§ 13. Свойства взаимной корреляционной функции
- •§ 14. Нормированная взаимная корреляционная функция
- •§ 15. Характеристики суммы случайных функций
- •§ 16. Производная случайной функции и ее характеристики
- •§ 17. Интеграл от случайной функции и его характеристики
- •§ 18. Комплексные случайные величины и их числовые характеристики
- •§ 19. Комплексные случайные функции и их характеристики
- •§ 1. Определение стационарной случайной функции
- •§ 2. Свойства корреляционной функции стационарной случайной функции
- •§ 3. Нормированная корреляционная функция стационарной случайной функции
- •§ 4, Стационарно связанные случайные функции
- •§ 5. Корреляционная функция производной стационарной случайной функции
- •§ 6. Взаимная корреляционная функция стационарной случайной функции и ее производной
- •§ 7. Корреляционная функция интеграла от стационарной случайной функции
- •§ 8. Определение характеристик эргодическмх стационарных случайных функций из опыта
- •§ 1. Представление стационарной случайной функции в виде гармонических колебаний со случайными амплитудами и случайными фазами
- •§ 2. Дискретный спектр стационарной случайной функции
- •§ 3. Непрерывный спектр стационарной случайной функции. Спектральная плотность
- •§ 4. Нормированная спектральная плотность
- •§ 5. Взаимная спектральная плотность стационарных и стационарно связанных случайных функций
- •§ 7. Стационарный белый шум
- •§ 8. Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной динамической системой
- •1Истику,
- •1Сч счсчсмсчсчсчсчсм c4c4c4cococjco сосососососо сососососо сосоч-ч- ч1
- •Гмурман Владимир Ефимович теория вероятностей и математическая статистика
§ 3. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В„, В2, ..., Вп, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности (см. § 2):
Р(А) = Р (В,) PBl (А) + Р (В,) Рвг (А) + ...
... + Р(Вп)РВп(А). (.)
Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности, гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности
РА(Вг), РА{Вг), ..., РА(В„).
Найдем сначала условную вероятность РА (BJ. По теореме умножения имеем
Р (ABJ = Р (А) РА (В,) - Р (В,) PBl (Л). Отсюда
Заменив здесь Р (А) по формуле (*), получим
р (В) *
г л KOi) - р (Bl) pBi (А) + р (в2) PBt{A)+...+P (В„) РВп (А) •
Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т. е. условная вероятность любой гипотезы Bt (i=l, 2, ..., п) может быть
52
вычислена по формуле
(В2) РвАЛ)+..-+Р {В„) PBJ (Л) •
Полученные формулы называют формулами Бейеса (по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.). Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.
Пример. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму — 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым —0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.
Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что годная деталь признана стандартной. Можно сделать два предположения:
1) деталь проверил первый контролер (гипотеза В{);
2) деталь проверил второй контролер (гипотеза 52). Искомую вероятность того, что деталь проверил первый контро лер, найдем по формуле Бейеса:
Р (В) Р(Вг)РвАЛ)
А (ai> P (flj PBt (A) + Р (В2) РВг (А) '
По условию задачи имеем:
Р (В)) = 0,6 (вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру);
Я(В2) = 0,4 (вероятность того, что деталь попадет ко второму контролеру); Ра1(Л) = 0,94 (вероятность того, что годная деталь будет признана
первым ^контролером стандартной); ^>йа(^)=0,98 (вероятностьт^го, что годная деталь будет признана
вторым контролером стандартной). Искомая вероятность \^
Pa (fii) = (0,6-0,94)/(0,6-0,94 + 0,4-0,98) x 0,59.
Как видно, до испытания вероятность гипотезы В% равнялась 0,6, а после того, как стал известен результат испытания, вероятность этой гипотезы (точнее, условная вероятность) изменилась и стала равней 0,59. Таким образом, использование формулы Бейеса позволило переоценить вероятность рассматриваемой гипотезы.
Задачи
1. Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7, а вторым-г* 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из стрелков попал в мишень. Отв. 0,88.
63
2. У сборщика имеется 16 деталей, изготовленных заводом № 1, и 4 детали завода Jft 2. Наудачу взяты 2 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окажется изготовленной заводом № 1.
Отв. 92/95.
3. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бе гуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника—0,9, для велосипедиста—0,8 и для бегуна—0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.
Отв. 0,86.
4. Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных заво дом № 1, и 2 коробки деталей, изготовленных заводом Ms 2. Вероят ность того, что деталь завода № 1 стандартна, равна 0,8, а завода № 2 — 0,9, Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой ко робки. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.
Отв. 0,84.
5. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандарт ных; во втором—30 деталей, из них 24 стандартных; в третьем — 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика—стандартная.
Отв. 43/60.
в. В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы.
Отв. 0,875.
7. В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содер жится 12 ламп, из них I нестандартная; во втором 10 ламп, из них 1 нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и перело жена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.
Отв. 13/132.
8. Из полного набора' 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую извлеченную наудачу кость можно приставить к первой.
Отв. 7/18.
9. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком слу чае вероятность вытащить неизвестный билет будет для него наимень шей: когда он берет билет первым или последним?
Отв. Вероятности одинаковы в обоих случаях.
10. В ящик, содержащий 3 одинаковых детали, брошена стан дартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равноверо ятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находящихся в ящике.
Отв. 0,625.
11. При отклонении от нормального режима работы автомата срабатывает сигнализатор С-1 с вероятностью 0,8, а сигнализатор С-11 срабатывает с вероятностью 1. Вероятности того, что автомат снабжен сигнализатором С-1 или С-11, соответственно равны 0,6 и 0,4. Получен сигнал о разделке автомата. Что вероятнее: автомат снабжен сигнализатором С-1 или С-11?
Отв. Вероятность того, что автомат снабжен сигнализатором С-1, равна 6/11. а С-11—5/11.
54
12. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревно ваниях выделено из первой группы курса 4, из второй —6, из третьей группы — 5 студентов. Вероятности того, что студент первойт-второй „ третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревно вания попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принад лежал этот студент?
Отв. Вероятности того, что выбран студент первой, второй, третьей групп, соответственно равны: 18/59, 21/59, 20/59.
13. Вероятность для изделий некоторого производства удовлетво рять стандарту равна 0,96. Предлагается упрощенная система про верки на стандартность, дающая положительный результат с вероят ностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изде лий, которые не удовлетворяют стандарту,— с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что изделие, признанное при проверке стандартным, действительно удовлетворяет стандарту.
Отв. 0,998.
Глава пятая ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ