§ 1. Основные задачи

Можно выделить два основных вида задач, ре-шение которых требует использования теории случайных функций.

Прямая задача (анализ): заданы параметры неко­торого устройства и его вероятностные характеристики (математические ожидания, корреляционные функции, законы распределения) поступающей на его «вход» функ­ции (сигнала, процесса); требуется определить характе­ристики на «выходе» устройства (по ним судят о «каче­стве» работы устройства).

Обратная задача (синтез): заданы вероятностные характеристики «входной» и «выходной» функций; тре­буется спроектировать оптимальное устройство (найти его параметры), осуществляющее преобразование заданной входной функции в такую выходную функцию, которая имеет заданные характеристики. Решение этой задачи требует кроме аппарата случайных функций привлечения и других дисциплин и в настоящей книге не рассматри­вается.

§ 2, Определение случайной функции

Случайной функцией называют функцию неслу­чайного аргумента t, которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной. Слу­чайные функции аргумента t обозначают прописным¹⁴ буквами X(t), Y(t) и т.д.

Например, если V—случайная величина, то функи^иЯ Х(0 = ^²£/—случайная. Действительно, при каждом ф^иК'

386

"^рованном значении аргумента эта функция являете _сдучайной величиной: при t₁ = 2 получим случайну! «еличину Х₁ = 4(/, при /₂=1,5—случайную величин ^₂ = 2,25U и т. д.

Для краткости дальнейшего изложения введем поняти _сечения.

Сечением случайной функции называют случайнуь величину, соответствующую фиксированному значенш аргумента случайной функции. Например, для случайно) функции X(t) = t²U, приведенной выше, при значения: аргумента ^ = 2 и t₂— 1,5 были получены соответственн< случайные величины X, = 4£/ и Х_г = 2,251/, которые) являются сечениями заданной случайной функции.

Итак, случайную функцию можно рассмат ривать как совокупность случайных вели чин {X(t)\, зависящих от параметра t. Воз можно и другое истолкование случайной функции, есл! ввести понятие ее реализации.

Реализацией (траекторией, выборочной функцией) слу чайной функции X (t) называют неслучайную функции аргумента t, равной которой может оказаться случайна* функция в результате испытания.

Таким образом, если в опыте наблюдают случайнук функцию, то в действительности наблюдают одну из воз­можных ее реализаций; очевидно, при повторении опытг будет наблюдаться другая реализация.

Реализации функции X (t) обозначают строчными бук­вами x_l(t), X₂(t) и т. д., где индекс указывает номер испытания. Например, если X(t) = Us'mt, где U—непре­рывная случайная величина, которая в первом испытании приняла возможное значение ы₁ = 3, а во втором испы­тании «₂ = 4,6, то реализациями X{t) являются соответ­ственно неслучайные функции х_х (t) = 3sint и х₂ (/) = «= 4,6 sin t.

Итак, случайную функцию можно рассмат­ривать как совокупность ее возможных Реализаций.

Случайным [стохастическим) процессом называют слу­чайную функцию аргумента t, который истолковывается ^как время. Например, если самолет должен лететь с за-Аанной постоянной скоростью, то в действительности Следствие воздействия случайных факторов (колебание ^температуры, изменение силы ветра и др.), учесть влияние Которых заранее нельзя, скорость изменяется. В этом

387

примере скорость самолета — случайная функция от не­прерывно изменяющегося аргумента (времени), т. е. скорость есть случайный процесс.

Заметим, что если аргумент случайной функции изме­няется дискретно, то соответствующие ему значения случайной функции (случайные величины) образуют слу­чайную последовательность.

Аргументом случайной функции может быть не только время. Например, если измеряется диаметр ткацкой нити вдоль ее длины, то вследствие воздействия случайных факторов диаметр нити изменяется. В этом примере диаметр — случайная функция от непрерывно изменяюще­гося аргумента (длины нити).

Очевидно, задать случайную функцию аналитически (формулой), вообще говоря, невозможно. В частных слу­чаях, если вид случайной функции известен, а опреде­ляющие ее параметры—случайные величины, задать ее аналитически можно. Например, случайными являются функции:

X(t) = s'mQt, где Q —случайная величина, X(t) — Usint, где U —случайная величина, X(t) = U s'mQt, где Q и U — случайные величины.