§ 9. Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины

Напомним предварительно, что если случайная величина R распределена равномерно в интервале (0, 1), хо ее математическое ожидание и дисперсия соответственно равны (см. гл. XII, § 1, замечание 3):

D (R) =1/12. (**)

Составим сумму п независимых, распределенных рав­ номерно в интервале (0, 1) случайных величин R,(j=l, 2 п):

J] Rj. (***)

Для нормирования этой суммы найдем предварительно ее математическое ожидание и дисперсию.

Известно, что математическое ожидание суммы слу­чайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Сумма (***) содержит п слагаемых, матема­тическое ожидание каждого из которых в силу (*) равно 1/2; следовательно, математическое ожидание суммы (***)

= я/2.

Известно, что дисперсия суммы независимых случай-х величин равна сумме дисперсий слагаемых. Сумма (***) содержит п независимых слагаемых, дисперсия каж-из которых в силу (**) равна 1/12; следовательно,

377

дисперсия суммы (***)

~ =п/12.

Отсюда среднее квадратическое отклонение суммы a_s = Vn/12.

Пронормируем рассматриваемую сумму, для чего выч­тем математическое ожидание и разделим результат на среднее квадратическое отклонение:

2 Rj-(л/2)

В силу центральной предельной теоремы при п—>-оо распределение этой нормированной случайной величины стремится к нормальному с параметрами а —0 и 0=1. При конечном п распределение прибли­женно нормальное. В частности, при п = 12 получим достаточно хорошее и удобное для расчета приближение

12

Правило. Для того чтобы разыграть возможное зна­чение х_{ нормальной случайной величины X с парамет­рами а = 0 и о=1, надо сложить 12 независимых слу­чайных чисел и из полученной суммы вычесть 6:

х<= 2^-6 = 5,-6.

¹⁼¹.

Пример, а) Разыграть 100 возможных значений нормальной вели­чины X с параметрами а = 0 и о=1; б) оценить параметры разыг­ранной величины.

Решение, а) Выберем 12 случайных чисел из первой строки таблицы *>, сложим их и из полученной суммы вычтем 6; в итоге имеем

х₁ = (0,10 + 0,09+...+0,67) —6 = —0,99.

Аналогично, выбирая из каждой следующей строки таблицы пер­вые 12 чисел, найдем остальные возможные значения X.

• ) См.: Большее Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы матемЭ' тической статистики. М., «Наука», 1965, с. 428—429.

378

б) Выполнив расчеты, получим искомые оценки: а* = ж₈ =- — 0,05. о» = У1\ =*. 1,04.

Оценки удовлетворительные: а* близко к нулю, а* мало отличается _оТ единицы.

Замечание. Если требуется разыграть возможное значение _ti нормальной случайной величины Z с математическим ожиданием _п и средним квадратическим отклонением а, то, разыграв по пра­вилу настоящего параграфа возможное значение #,-, находят искомое возможное значение по формуле

£га формула получена из соотношения Jz/ — a)/a = *,-.

Задачи

1. Разыграть 6 значений дискретной случайной величины X, закон распределения которой задан в виде таблицы

X 2 3,2 10

р 0,18 0,24 0,58

Указание. Для определенности принять, что выбраны слу­чайные числа: 0,73; 0,75; 0,54; 0,08; 0,28; 0,53. Отв. 10; 10; 10; 2; 3; 22; 10.

2. Разыграть 4 испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,52.

Указание. Для определенности принять, что выбраны слу­чайные числа^ 0,28; _0,53; 0,91; 0,89. Отв. А, А, А, А.

3. Заданы вероятности трех событий, образующих полную группу: Р(А₁) = 0,20, Р(Л₂) = 0,32, Р(А₃)~ 0,48. Разыграть 6 испытаний, в каждом из которых появляется одно из заданных событий.

Указание. Для определенности принять, что выбраны слу­чайные числа: 0,77; 0,19; 0,21; J0.51; 0,99; 0,33. Oms. A₃, А_г, А_г, А₂, А₃, А₂.

4. События А и В независимы и совместны. Разыграть 5 испы­ таний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,5, а события В —0,8.

Указание. Составить полную группу событий: Л₁ = ЛВ, Л₂ = а5, А₃ = АВ, Ai=?AB; для определенности принять случайные числа: 0,34; 0,41; 0,48; 0,21; 0,57.

Отв. Ах, А₂, А₂, A_u A_s.

5. События А, В, С независимы и совместны. Разыграть 4 испы­ тания, в каждом из которых вероятности появления событий заданы: Р(Л) 04 Р(В) 06 Р(С) 05

Р(Л) = 0,4, Р(В) = 0,6, Р(С) = 0,5.

Указание. Составить_полную группу событий: А_г = ABC, ^А2 = АВ£, A_S = ABC, A₄ = ABC, А₆ = АВС, А_в = АВС, А₇ = АВС, А»~АВС; для определенности принять, что выбраны случайные числа: 0,075; 0,907; 0,401; 0,344.

Отв. Ai, Ag, А_х, Ац.

6. События А и В зависимы и совместны. Разыграть 4 испыта-?.^ия, в каждом из которых заданы вероятности: Р(Л) = 0,7, Р(В) = 0,6, ^Р(АВ) = 0,4.

379

У о з а н и_е, Составить полную группу событий: ^«.^Л А_й = АВ, А₃ = АВ, Ад = АВ; для определенности принять случайна ' числа: 0,28; 0,53; 0,91; 0,89. ^НЫе

Отв. А_г, А₂, Л₄, А₃.

7. Разыграть 3 возможных значения непрерывной случайно» величины X, которая распределена по показательному закону " задана функцией распределения F(x)~l—е-¹⁰*. ^и

Указание. Для определенности принять, что выбраны г_Лх, чайные числа: 0,67; 0,79; 0,91. ^у"

Отв. 0,04; 0,02; 0,009.

8. Разыграть 4 возможных значения непрерывной случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (6, 14).

Указание. Для определенности принять, что выбраны civ чайные числа: 0,11: 0,04; 0,61; 0,93. ^у'

Отв. 6,88; 6,32; 10,88; 13,44.

9. Найти методом суперпозиции явные формулы для разыгрьщ_а. ния непрерывной случайной величины X, заданной функцией р_ас. пределения

F(x)=l — (1/3)(2е-²* + е-³*), 0 < х < оо. Отв. *=—(1/2) 1п/-_г, если г_г <2/3;х = —(1/3) In r₂, если г_г^ 2/3.

10. Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной слу^ чайной величины X, заданной плотностью вероятности /(*) = = Ь/(\+ах)² в интервале 0«^Ж1/(6—а); вне этого интервала /<) 0

Отв. Х{=—Г(ЦЬ — аг{).

П. Разыграть 2 возможных значения нормальной случайной величины с параметрами: а) о = 0, а=1; б) а = 2, о = 3.

Указание. Для определенности принять случайные числа (далее указано число сотых долей; например, числу 74 соответствует слу­чайное число г, = 0,74): 74, 10, 88, 82, 22, 88, 57, 07, 40, 15, 25, 70; 62, 88, 08, 78, 73, 95, 16, 05, 92, 21, 22, 30. • Отв. а) *! = — 0,22, х₂ = — 0,10; б) z^l.34, г₂ = 2,70.

Глава двадцать вторая

ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ЦЕПЯХ МАРКОВА