§ 7. Разыгрывание непрерывной случайной величины. Метод обратных функций

Пусть требуется разыграть непрерывную случай­ную величину X, т.е. получить последовательность ее Возможных значений x_t{i=\, 2, ...), зная функцию Распределения F (х).

Теорема. Если г,-—случайное число, то возможное зна- х,- разыгрываемой непрерывной случайной величины с заданной функцией распределения F (х), соответ-

371

ствующее г_{, является корнем уравнения

F(x,) = r,. _{%)

Доказательство. Пусть выбрано случайное числ Г/(0^Г/< 1). Так как в интервале всех возможных зна° чений X функция распределения F (х) монотонно возр_а стает от 0 до 1, то в этом интервале существует, причец

только одно, такое значение аргумента x_h при котор_Ом функция распределения примет значение г_{. Другими словами, уравнение (*) имеет единственное решение

где F'¹—функция, обратная функции y — F(x).

Докажем теперь, что корень х₍ уравнения (*) есть возможное значение такой непрерывной случайной вели­чины (временно обозначим ее через £, а потом убедимся, что | = Х). С этой целью докажем, что вероятность попа­дания £ в интервал, например (с, d), принадлежащий интервалу всех возможных значений X, равна прираще­нию функции распределения F (х) на этом интервале:

P(c<l<d) = F(d)~ F(c).

Действительно, так как F (х) — монотонно возрастаю­щая функция в интервале всех возможных значений X, то в этом интервале большим значениям аргумента соот­ветствуют большие значения функции, и обратно. Поэтому, если с < Xi < d, то F (с) < г,- < F (d), и обратно [учтено, что в силу (*) F(Xi) = ri].

Из этих неравенств следует, что если случайная величина £ заключена в интервале

c<l<d, (**)

то случайная величина R заключена в интервале

F(c)<R<F (d), (***)

и обратно. Таким образом, неравенства (**) и (***) рав­носильны, а, значит, и равновероятны:

P(c<l<d)=P[F(c)<R<F(d)]. (****)

Так как величина R распределена равномерно в ин­тервале (0, 1), то вероятность попадания R в некоторый интервал, принадлежащий интервалу (0, 1), равна е^г0 длине (см. гл. XI, § 6, замечание). В частности,

372

/^едовательно, соотношение (****) можно записать в виде P(c<t<d) = F(d)~- F(c).

Итак, вероятность попадания \ в интервал (с, d) равна _приращению функции распределения F (х) на этом интер­вале, а это означает, что £ = Х. Другими словами, числа v., определяемые формулой (*), есть возможные значения _вел^ичины % ^с заданной функцией распределения F (х), _что и требовалось доказать.

Правило 1. Для того чтобы найти возможное значение _х. непрерывной случайной величины X, зная ее функцию распределения F (х), надо выбрать случайное число г,-, приравнять его функции распределения и решить отно­сительно х_{ полученное уравнение

Замечание 1. Если решить это уравнение в явном виде не удается, то прибегают к графическим или численным методам.

Пример I. Разыграть 3 возможных значения непрерывной слу­чайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 10).

Решение. Напишем функцию распределения величины X, рас­пределенной равномерно в интервале (а, Ь) (см. гл. XI, § 3, пример):

F(x) = (x-a)l(b-a).

По условию, а = 2, 6=10, следовательно,

/>(х) = (х-2)/8.

Используя правило настоящего параграфа, напишем уравнение для отыскания возможных значений х/, для чего приравняем функцию распределения случайному числу:

(х,-2)/8 = г/.

Отсюда х,- = 8г,- + 2.

Выберем 3 случайных числа, например, /"1 = 0,11, г_а = 0,17, 'з = 0,66. Подставим эти числа в уравнение, разрешенное относительно Xf, в итоге получим соответствующие возможные значения X: ^ = 8-0,11+2 = 2,88; *₂=1,36; х₈ = 7,28.

Пример 2. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону, заданному функцией распределения (параметр ^ > 0 известен)

F(x)=l—e"^Ajr (x>0).

Требуется найти явную формулу для разыгрывания возможных зна­чений X.

Решение. Используя правило настоящего параграфа, напишем Уравнение

1 — е ' = /■/. ^РеШим это уравнение относительно xf.

е ' = 1 — г/, или — Лх/ = In (1 — г/).

373

Отсюда

1 */= —г-In (1 —г,-).

Случайное число г,- заключено в интервале (0, 1); следовательно, число 1—/■,• также случайное и принадлежит интервалу (0,1). Дру. гими словами, величины R и 1—R распределены одинаково. Поэтому для отыскания дс,- можно воспользоваться более простой формулой

1

Замечание 2. Известно, что (см. гл. XI, § 3)

х F{x)= J f(x)dx.

— 00

В частности,

J f{x)dx.

Отсюда следует, что если известна плотность вероятности /(*), то для разыгрывания X можно вместо уравнений F (дс,-) = г/ решить относительно */ уравнение

f(x)dx=_ri.

Правило 2. Для того чтобы найти возможное значение X; непрерывной случайной величины X, зная ее плот­ность вероятности f(x), надо выбрать случайное число Г/ и решить относительно х_{ уравнение

f(x)dx = r_it

— 00

или уравнение

$f(x)dx = r,,

а

где а—наименьшее конечное возможное значение X.

Пример 3. Задана плотность вероятности непрерывной случайной величины X f(x)=X(l—\х/2) в интервале (0; 2/Я); вне этого интер­вала /(х) = 0. Требуется найти явную формулу для разыгрывания возможных значений X.

374

решение. Напишем в соответствии с правилом 2 уравнение

Выполнив интегрирование и решив полученное квадратное уравнение Относительно *,-, окончательно получим