§ 5. Разыгрывание противоположных событий

Пусть требуется разыграть испытания, в каждом из которых событие А появляется с известной вероят­ностью р и, следовательно, не появляется с вероятностью

Я= ¹~Р-

Введем в рассмотрение дискретную случайную вели­чину X с двумя возможными значениями (для определен' ности примем x_l=\, х₂ — 0) и соответствующими им в^е' роятностями р₁ = р, р_г = Я. Условимся считать, что ес^ в испытании величина X приняла возможное значен^⁶ *,= 1, то событие Л наступило; если Х — х₂ = 0, то б^'

368

А не наступило, т. е. появилось противоположное _событие А.

Таким образом, разыгрывание противоположных собы­тий А я А сведено к разыгрыванию дискретной случай­ной величины X с заданным законом распределения:

X 1 О Р Р Я

Для разыгрывания X надо (по правилу § 4) интервал (О, 1) разбить точкой р на два частичных интервала: д_х — (0, р) и А₂ — (р, 1). Затем выбирают случайное число Гу. Если rj попадает в интервал A_lf то X = х_г (наступило событие А); если гу попадает в интервал Д₂, то Х—х₂ = 0 (событие А не наступило).

Правило. Для того чтобы разыграть испытания, в каж­дом из которых вероятность появления события равна р и, следовательно, вероятность наступления противополож­ного события А равна 1—р, надо выбрать (например, из таблицы случайных чисел) случайное число г,(/=1, 2, ...)• ^{если r}j < Р, ^т0 событие А наступило; если г^р_ъ то появилось противоположное событие А.

Пример. Разыграть 6 испытаний, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р = 0,35.

Решение. Выберем из таблицы приложения 9 шесть случайных чисел, например: 0,10; 0,36; 0,08; 0,99; 0,12; 0,06. Считая, что при /у < 0,35 событие А появилось, а при г^ ^ 0,35 наступило противо­положное событие А, получим искомую последовательность событий: А, А, А, А, А, А.

§ 6. Разыгрывание полной группы событий

Разыгрывание полной группы п (п > 2) несов­местных событий A_lt А₂, .. ., А_п, вероятности которых Pi> Pi, • ■ •» р_п известны, можно свести к разыгрыванию дискретной случайной величины X со следующим законом Распределения (для определенности примем х_г= \, x_a = 2_t • • •, х_п — п):

X 1 2 ... п

Р Pi Pi ■ ■• Рп

Действительно, достаточно считать, что если в испы-^тании величина X приняла значение х_{ = / (t = 1, 2, ..., п)_> ^т° наступило событие Л,-. Справедливость этого утвержде. ^Нн следует из того, что число п возможных значений \

равно числу событий полной группы и вероятности воз­можных значений х,- и соответствующих им событий л одинаковы: Р (X = х₍) = Р (Л,) = р_{. Таким образом, появ­ление в испытании события А равносильно событию состоящему в том, что дискретная случайная величина }( приняла возможное значение X;.

Правило. Для того чтобы разыграть испытания, в дом из которых наступает одно из событий A_lt А₂, ..., полной группы, вероятности которых p_lt p₂, ...,р_{п Из}* вестны, достаточно разыграть (по правилу § 4) дискретную случайную величину X со следующим законом распреде-ления:

X 1 2 ... п

Р Pi Р2 • • • Рп

Если в испытании величина X приняла возможное зна­чение x_t — i, то наступило событие А_{.

Пример 1. Заданы вероятности четырех событий, образующих полную группу: р_г=Р (Л₁) = 0,19, р₂ = Р (Л₂) = 0,21, р₃=Р (Л₈)=0,34, р₄ = Р (Л₄)»=0,26. Разыграть 5 испытаний, в каждом из которых появляется одно из четырех заданных событий.

Решение. В соответствии с правилом, приведенным в настоящем параграфе, надо разыграть дискретную случайную величину X, закон распределения которой

X 1 2 3 4

р 0,19 0,21 0,34 0,26

По правилу § 4 разобьем интервал (0,1) на четыре частичных интервала: A_x —(0; 0,19), Д₂ —(0,19; 0,40), Д₃ —(0,40; 0,74), Д₄ — (0,74; 1). Выберем из таблицы приложения 9 пять случайных чисел, например: 0,66; 0,31; 0,85; 0,63; 0,73. Так как случайное число ^ = 0,66 принадлежит интервалу Д₃, то Х = 3, следовательно, наступило собы­тие А₃- Аналогично найдем остальные события.

Итак, искомая последовательность событий такова:

^3i -"2> "4» "3> "8-

Пример 2. События А и В независимы и совместны. Разыграть 6 испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,6, а вероятность появления события В равна 0,2.

Решение. Возможны 4 исхода испытания:

Ai = AB, причем в силу независимости событий Р (АВ)=* =Р(Л)-Р(В)=0,6-0,2 = 0,12;

А₂ = АВ, причем Р (АВ) = 0,6-0,8 = 0,48;

А_Я=*АВ, причем Р (АВ)= 0,4-0,2 = 0,08;

A_t = AB, причем Р (1й) = 0,4-0,8 = 0,32.

Таким образом, задача сведена к разыгрыванию полной ч< ырех событий: А_г с вероятностью р! = 0,12, Л_а с вероятност р,,^0,48, А₃ с вероятностью р₃ = 0,08 и Л₄ с вероятностью Р4^==0> '

370

В свою очередь, в соответствии с правилом настоящего пара­графа эта задача сводится к разыгрыванию дискретной случайной еличины X, закон распределения которой

X 1 2 3 4

р 0,12 0,48 0,08 0,32

Используем правило § 4. Выберем 6 случайных чисел, например: к 45; 0,65; 0,06; 0,59; 0,33? 0,70. Построим частичные интервалы: ^ — (0; 0,12), Д₂ —(0,12; 0,60); Д₃ —(0,60; 0,68), Д₄ — (0,68; 1). Слу­чайное число /■₁ = 0,45 принадлежит интервалу Д₂, поэтому наступило событие А₂ — АВ. Аналогично найдем исходы остальных испытаний.

Итак, искомая_последовательность исходов разыгранных испыта­ний такова: АВ, АВ, АВ, АВ, АВ, АВ.

Пример 3. События А и В зависимы и совместны. Разыграть 4 испытания, в каждом из которых заданы вероятности Р (А) = 0,8, р(В)=0,6, Р(АВ) = 0,5.

Решение. Возможны 4 исхода испытания:

Ai = AB, причем, по условию, Р (/IS) = 0,5; '

А₂ = А~В, причем Р{АВ)=*Р (A) — P (ЛВ) = 0,8 —0,6=0,3;

А₈ = АВ, причем Р (АВ) = Р (В)-Р(АВ) = 0,6—0,5 = 0,1;

А* = А"В, причем Р [АВ)= 1— [Р (А_г) + Р (А_а) + Р (А„)] = 1 — (05 + 03 + 01) 01

Таким образом, задача сведена к разыгрыванию полной группы четырех событий: А_х с вероятностью 0,5, А_г с вероятностью 0,3, Аз с вероятностью 0,1 и А₄ с вероятностью 0,1 и A_t с вероятно­стью 0,1.

Рекомендуем закончить решение самостоятельно, считая для определенности, что выбраны случайные числа:_0,65; 0,06; 0,59; 0,33.

Для контроля приводим ответ: АВ, АВ, АВ, АВ.

Пояснение. Так как А=АВ+АВ, то Р(А)—Р(АВ)+Р(А~В). Отсюда

Р{А~В) = Р(А) — Р(АВ). Аналогично получим, что

Р(АВ) = Р(В) — Р{АВ).