§ 1. Предмет метода Монте — Карло

Датой рождения метода Монте—Карло принято считать 1949 г., когда американские ученые Н. Метропо-лис и С. Улам опубликовали статью «Метод Монте — Карло», в которой систематически его изложили. Назва­ние метода связано с названием города Монте—Карло, где в игорных домах (казино) играют в рулетку—одно из простейших устройств для получения случайных чисел, на использовании которых основан этот метод.

ЭВМ позволяют легко получать так называемые псев­дослучайные числа (при решении задач их применяют вместо случайных чисел); это привело к широкому внедре­нию метода во многие области науки и техники (статисти­ческая физика, теория массового обслуживания, теория игр и др.). Метод Монте—Карло используют для вычис­ления интегралов, в особенности многомерных, для реше­ния систем алгебраических уравнений высокого порядка, для исследования различного рода сложных систем (автоматического управления, экономических, биологи­ческих и т. д.).

Сущность метода Монте—Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изу­чаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину X, математическое ожидание которой равно а:

М(Х) = а.

Практически же поступают так: производят л испы­таний, в результате которых получают п возможных зна­чений X; вычисляют их среднее арифметическое

363

и принимают х в качестве оценки (приближенного значе-ния) а* искомого числа а:

а ~ а* — х.

Поскольку метод Монте — Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указы-вает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину X, как найти ее возможные значения. В част­ности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания а его оценкой а*.

Отыскание возможных значений случайной величины^ (моделирование) называют «разыгрыванием случайной ве­личины». Изложим лишь некоторые способы разыгрывания случайных величин и укажем, как оценить допускаемую при этом ошибку.

§ 2. Оценка погрешности метода Монте — Карло

Пусть для получения оценки а* математического ожидания а случайной величины X было произведено п независимых испытаний (разыграно п возможных значе­ний X) и по ним была найдена выборочная средняя х, ко­торая принята в качестве искомой оценки: а* = х. Ясно, что если повторить опыт, то будут получены дру­гие возможные значения X, следовательно, другая сред­няя, а значит, и другая оценка а*. Уже отсюда следует, что получить точную оценку математического ожидания невозможно. Естественно, возникает вопрос о величине допускаемой ошибки. Ограничимся отысканием лишь верхней границы б допускаемой ошибки с заданной ве­роятностью (надежностью) у:

Интересующая нас верхняя граница ошибки б есть не что иное, как «точность оценки» математического ожидания по выборочной средней при помощи доверительных ин­тервалов, о которой уже шла речь в гл. XVI. Поэтому воспользуемся результатами, полученными ранее, и р^аС" смотрим следующие три случая.

1. Случайная величина X распределена нормально и ее среднее квадратическо^

364

уклонение а известно. В этом случае с надеж­ностью у верхняя граница ошибки (см.. гл. XVI, § 15)

д₆ п—число испытаний (разыгранных значений X); t — значение аргумента функции Лапласа, при котором ₍р(/) = у/2, о — известное среднее квадратическое откло­нение X.

Пример 1. С надежностью у = 0.95 найти верхнюю границу _одаибки б, если для оценки математического ожидания нормальной величины X с известным средним квадратическим отклонением, равным О 5 было разыграно 100 возможных значений X. ' 'решение. По условию, п—100, а = 0,5, Ф(<) = 0,95/2 = 0,475. ро таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим / — 1,96. Искомая верхняя граница ошибки б = 1,96-0,5/ "]fl00 = 0,098.

2. Случайная величина X распределена нормально, причем ее среднее квадрати­ ческое отклонение а неизвестно. В этом слу­ чае с надежностью у верхняя граница ошибки (см. гл. XVI, § 16)

6=t_vs/yii, (**)

где п—число испытаний; s—«исправленное» среднее квад­ратическое отклонение, t_v находят по таблице приложе­ния 3.

Пример 2. С надежностью у = 0,95 найти верхнюю границу ошибки 6", если для оценки математического ожидания нормальной величины X было разыграно 100 ее возможных значений и по ним найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,5.

Решение. По условию, п=100, s = 0,5. Используя таблицу приложения 3, по у = 0,95, п=100 находим / = 1,984. Искомая верхняя граница ошибки б = 1,984-0,5/КИЮ =0,099.

3. Случайная величина X распределена по закону, отличному от нор ма л ьного. В этом случае при достаточно большом числе испытаний (л>30) ^с надежностью, приближенно равной у, верхняя граница ошибки может быть вычислена по формуле (*), ^если среднее квадратическое отклонение а случайной ве­ личины X известно; если же а неизвестно, то можно подставить в формулу (*) его оценку s—«исправленное» ^среднее квадратическое отклонение либо воспользоваться Формулой (#*). Заметим, что чем больше п, тем меньше Различие между результатами, которые дают обе формулы. ^ объясняется тем, что при п —<■ оо распределение

365

Стьюдента стремится к нормальному (см. гл. XVI, § замечание). В частности (примеры 1 и 2), при л-Y = 0,95 верхняя граница ошибки равна 0,098 по фр (*) и 0,099 по формуле (**). Как видим, результаты личаются незначительно.

Замечание. Для того чтобы найти наименьшее число иены таний, которые обеспечат наперед заданную верхнюю границу ошибки б надо выразить п из формул (*) и (*%): •

Например, если 6 = 0,098, /=1,96, 0 = 0,5, то минимальное число испытаний, при которых ошибка не превысит 0,098, равно

га=1,96²0,5²/0,098²=100.