§ 3. Связь между общей, факторной и остаточной суммами

Покажем, что

общ '-'факт 1 **-*ост*

Для упрощения вывода ограничимся двумя уровнями (р = 2) и двумя испытаниями на каждом уровне (q = 2). Результаты испытаний представим в виде табл. 31.

Таблица 31

Номер испытания	Уровни фактора
1	Ft	F,
1 2	Хц *21	Хц Х22
*ГР/	*Гр !	Хгр 2

Тогда

^обхц = (*„ — ~ХУ + (Х_п —Х)^г + (Х₁₂ —~ХУ + (Х₂₂ — X)².

Вычтем и прибавим к каждому наблюдаемому значению на первом уровне групповую среднюю х_Гр1, а на вто­ром—*гр2- Выполнив возведение в квадрат и учитывая, что сумма всех удвоенных произведений равна нулю (рекомендуем читателю убедиться в этом самостоятельно), получим

= 2 [(*гр 1—*> + (х_гр1—х)²] + [(*„—х_тр J» +

х₁₂—

"Г S

ост-

354

Итак,

■ + S₀

Следствие. Из полученного /равенства вытекает следствие:

"ост ⁼⁼ *-^общ

Отсюда видно, что нет надобности непосредственно вы­числять остаточную сумму: достаточно найти общую и факторную суммы, а затем их разность.

§ 4. Общая, факторная и остаточная дисперсии

Разделив суммы квадратов отклонений на соот­ветствующее число степеней свободы, получим общую, факторную и остаточную дисперсии:

■Эфакт

~ ^1ГГ

где р—число уровней фактора; q—число наблюдений на каждом уровне; pq—1—число степеней свободы общей дисперсии; р—1—число степеней свободы факторной дисперсии; p(q—1)—число степеней свободы остаточной дисперсии.

Если нулевая гипотеза о равенстве средних справед­лива, то все эти дисперсии являются несмещенными оценками генеральной дисперсии. Например, учитывая, что объем выборки п ~ pq, заключаем, что

'—исправленная выборочная дисперсия, которая, как известно, являет­ся несмещенной оценкой генеральной дисперсии.

Замечание. Число степеней свободы p(q—1) остаточной Дисперсии равно разности между числами степеней свободы общей и факторной дисперсий. Действительно,

(pq— 1) — (р— 1) = р<7—p = p(q— 1).

§ 5. Сравнение нескольких средних методом дисперсионного анализа

Вернемся к задаче, поставленной в § 1: прове­рить при заданном уровне значимости нулевую гипотезу ⁰ равенстве нескольких (р > 2) средних нормальных со-^вокупностей с неизвестными, но одинаковыми дисперси-

355

ями. Покажем, что решение этой задачи сводится к срав­нению факторной и остаточной дисперсий по критерию Фишера—Снедекора (см. гл. XIX, § 8).

1. Пусть нулевая гипотеза о равенстве нескольких средних (далее будем называть их групповыми) пра­ вильна. В этом случае факторная и остаточная дисперсии являются несмещенными оценками неизвестной генераль­ ной дисперсии (см. § 4) и, следовательно, различаются незначимо. Если сравнить эти оценки по критерию F, то очевидно, критерий укажет, что нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий следует принять.

Таким образом, если гипотеза о равенстве групповых средних правильна, то верна и гипотеза о равенстве фак­торной и остаточной дисперсий.

2. Пусть нулевая гипотеза о равенстве групповых средних ложна. В этом случае с возрастанием расхожде­ ния между групповыми средними увеличивается фактор­ ная дисперсия, а вместе с ней и отношение Р„_а6л — вфактЛост- В итоге F_Ha6_a окажется больше F_Kp и, следовательно, гипотеза о равенстве дисперсий будет отвергнута.

Таким образом, если гипотеза о равенстве групповых средних ложна, то ложна и гипотеза о равенстве фак­торной и остаточной дисперсий.

Легко доказать от противного справедливость обрат­ных утверждений: из правильности (ложности) гипотезы о дисперсиях следует правильность (ложность) гипотезы о средних.

Итак, для того чтобы проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями, достаточно проверить по критерию F нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий. В этом и состоит метод диспер­сионного анализа.

Замечание 1. Если факторная дисперсия окажется меньше остаточной, то уже отсюда следует справедливость гипотезы о равен­стве групповых средних и, значит, нет надобности прибегать к кри­терию F.

Замечание 2. Если нет уверенности в справедливости пред­положения о равенстве дисперсий рассматриваемых р совокупностей, то это предположение следует проверить предварительно, например по критерию Кочрена.

Пример. Произведено по 4 испытания на каждом из трех уров­ней. Результаты испытаний приведены в табл. 32. Методом диспер­сионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевую

356

Таблица 32

_I

Номер испытания	Уровни фактора F.
' | Л | F, | F,
1 2 3 4	51 52 56 57	52 54 56 58	42 44 50 52
*гр/	54	55	47

гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями.

Решение. Для упрощения расчета вычтем С = 52 из каждого наблюдаемого значения: уу = х,-/ — 52. Составим расчетную табл. 33.

Пользуясь таблицей и учитывая, что число уровней фактора р = 3, число испытаний на каждом уровне q = 4, найдем общую и факторную суммы квадратов отклонений (см. § 2, формулы (***)

Таблица 33

Номер испытаний	Уровни фактора F,						Итоговый столбец
С	f. | F, | F,
	У{\	У?1		У%	Уь	•Л
1 2 3 4	| 0 4 5	1 0 16 25	0 2 4 6	0, 4 16 36	—10 —8 2 0	100 64 4 0
1= 1		42		56		168	2<2/ = 2бб
	8		12		—20		2^=0
I*,	64		144		400

357

и (****)):

S₀6«= 2 Qj~ \( 2 ТЛ I (pq) 1 =266-0 = 266;

5факт = Г 2 ^ТЬч\ ~ f ( 2 ^TJ j I (M) I = (608/4)-0= 152.

Найдем остаточную сумму квадратов отклонений: •Soct = ^So6iu — 5факт = 266—152=114. Найдем факторную и остаточную дисперсии:

4акт = 5_факт/(р-1)= 152/(3-1)^76;

—l)) = 114/3 (4—1) =114/9 =12,67.

Сравним факторную и остаточную дисперсии по критерию F (см. гл. XIX, §8), для чего найдем наблюдаемое значение критерия:

4 = 76/12,67 = 6.

Учитывая, что число степеней свободы числителя k_t = 2, а зна­менателя *₂=9 и уровень значимости а = 0,05, по таблице приложе­ния 7 находим критическую точку:

F_Kp(0,05; 2; 9) = 4,26.

Так как .Р_Набл > ^кр—нулевую гипотезу о равенстве групповых средних отвергаем. Другими словами, групповые средние «в целом» различаются ' значимо. Если требуется сравнить средние попарно, то следует воспользоваться критерием Стьюдента.

Замечание 3. Если наблюдаемые значения хц—десятичные дроби с одним знаком после запятой, то целесообразно перейти к числам «/,у= 10дс,у—С, где С—примерно среднее значение чисел 10х,у. В итоге получим сравнительно небольшие целые числа. Хотя при этом факторная и остаточная дисперсия увеличиваются в 10² раз, их отношение не изменится. Например, если x_u=12,l, x₂i=12,2, jc₃₁= 12,6, io, приняв уц= Ю-дс,/—123, получим: уц = 121—123 = —2, j/₂₁=122 —123 = — 1, у₃1= 126-123 = 3.

Аналогично поступают, если после запятой имеется k знаков:

§ в. Неодинаковое число испытаний на различных уровнях

Выше число испытаний на различных уровнях предполагалось одинаковым. Пусть число испытаний на различных уровнях, вообще говоря, различно, а именно: произведено q_x испытаний на уровне F_x, ц_г испытаний —' на уровне F₂, ...,q_p испытаний — на уровне F_p. В этом

358

_случае общую сумму квадратов отклонений находят по

формуле

<7i

где iS

i=S^?i—сумма квадратов наблюдавшихся значе­ний признака на уровне Р_±; я*

P_a=*2jX*₂—сумма квадратов наблюдавшихся значе­ний признака на уровне F₂;

' \

Р_р— 2 х\_р—сумма квадратов наблюдавшихся значе-i = \

ний признака на уровне F_p\

д

1)1 „ Чг Р

^i=2 x_iit Я_а = 2 x_i2, .... R_p = 2 ^xtp—суммы

{=1 i=l (=1

наблюдавшихся значений признака соответственно на уров-

НИЛ ■* х* 2* • * " > Р*

« = ^1 + 92+ • • • +Я_Р—общее число испытаний (объем выборки).

Если для упрощения вычислений из каждого наблю­давшегося значения х_и вычитали одно и то же число С

И ПРИНЯЛИ Уц — Хц — С, ТО

q

2H

где Q^l&yh, Q_a=2f/?_a Qp^Hyl; Л

i= 1 1=1 1=1

2 !//*« • • •. T_p= 2j уi_p.

i~ 1 tf— I

Факторную сумму квадратов отклонений находят по

формуле

^если значения признака были уменьшены (у,у — х,у—С), то

S_paKr = [(T!/q₁) + (Tl/q₂)+ . . . ] - [(Г, + Г_а + ... + 7,

359

Остальные вычисления производят, как и в случае одинакового числа испытаний:

4акт =

о с

ост — '-'общ °

= 5_ОСТ/(П —

Пример. Произведено 10 испытаний, из них 4 на первом уровне фактора, 4 — на втором и 2 — на третьем. Результаты испытаний при. ведены в табл. 34. Методом дисперсионного анализа при уровне зна­чимости 0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями.

Таблица 34

Номер испытания	Уровни фактора Р,
i	Р,	Pi
1 2 3 4	40 44 48 36	62 80 71 91	92 76
	42	76	84

Решение. Для упрощения расчета вычтем С = 64 из каждого наблюдаемого значения: У1/=ху — 64. Составим расчетную табл. 35.

Используя табл. 35, найдем общую и факторную суммы квадратов отклонений:

S₀6m = 2 Q/-[(2 7V)³/n] = 3253-К-27)*/Ю] = = 3253 — 72,9 = 3180,1;

Яфакт = [(ТЬчг) + (Tl/q₂) + (ТЦЯш)] ~ [(S Tjfln] = = (7744/4) + (441 /4) + (1600/2)] — 72,90 = 2846,25—72,90 = 2773,35.

Найдем остаточную сумму квадратов отклонений:

5_Ост = 5_общ —S_4aKT = 3180,10 — 2773,35 = 406,75. Найдем факторную и остаточную дисперсии:

⁵факт =«Ф«т/(Р- 0 = 2773,35/(3- 1) = 2773,35/2= 1387; sic* = S_ocr/(n — р) = 406,75/( 10 - 3) = 406,75/7 = 58.

Сравним факторную и остаточную дисперсии по критерию ^ (см. гл. XIX, § 8), для чего найдем наблюдаемое значение критерия¹

1387/58 - 23.9.

360

Таблица 35

Номер испытания	Уровни фактора Fj						Итоговый столбец
i	F,		F,		F,
	У И	*|\	У12		У1з	«ъ
1 2 3 4	—24 —20 — 16 —28	576 400 256 784	—2 16	4 256 49	28 12	784 144
7/= 2 У// Т)	—88 7744	2016	21 441	309	40 1600	928	2Q/ = 3253 2 7-/=-27

Учитывая, что число степеней свободы числителя к_г==2, а зна­менателя fcj = 7 и уровень значимости а = 0,01, по таблице приложе­ния 7 находим критическую точку: F_Kp(0,0l; 2; 7) = 9,55.

Так как ^наЛл > -^кр—нулевую гипотезу о равенстве групповых средних отвергаем. Другими словами, групповые средние различаются значимо.

Задачи

В задачах 1—3 требуется при уровне значимости 0,05 про­верить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предпо­лагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с оди­наковыми генеральными дисперсиями.

1.

Номер испытания		Уровни фактора		Fi
1	F,	F,		F,
1	42	66	35	64	70
2	55	91	50	70	79
3	67	96	60	79	88
4	67	98	69	81	90
*ГР/	57,75	87,75	53,50	73,50	81,75

Oma. •Отвергается

3; F_Kp (0,05; 4; 15) = 3,06. Нулевая гипотеза

361

2.

Номер испытания	Уровни-фактора Ff """—
1		F,	F,	—■—. F,
1 2 . 3 4	6 7 8 ( 11	6 7 11 12	9 12 13 14	7 9 10 10
*ГР/	_ 8	9	12	9

Отв. /^?„абл = 2,4; F_Kp (0,05; 3; 12) = 3,49. Нет оснований отверг, нуть нулевую гипотезу.

3.

Номер испытания	Уровни фактора Fj
1	F,	F,	F,
1 2 3 4 5 6	37 47 40 60	60 86 67 92 95 98	69^ 100 98
хгр/	46	83	89

Отв. /'_Вабл = 9,92; F_KV (0,05; 2; 10) ==4,10. Нуле­вая гипотеза отвергается.

If

ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ

МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО. ЦЕПИ МАРКОВА

Глава двадцать первая

МОДЕЛИРОВАНИЕ (РАЗЫГРЫВАНИЕ)СЛУЧАЙНЫ X ВЕЛИЧИН МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО