§ 27. Критерий Вилкоксона и проверка гипотезы об однородности двух выборок

Критерий Вилкоксона *' служит для проверки однородности двух независимых выборок: x_lt х₂,..., x_ni и у_и 1/г» •••» Уп-,- Достоинство этого критерия состоит в том, что он применим к случайным величинам, распределения которых неизвестны; требуется лишь, чтобы величины были непрерывными.

Если выборки однородны, то считают, что они извле­чены из одной и той же генеральной совокупности и, следовательно, имеют одинаковые, причем неизвестные, непрерывные функции распределения F₁(x) и F₂(x).

Таким образом, нулевая гипотеза состоит в том, что при всех значениях аргумента (обозначим его через х) функции распределения равны между собой: F₁(x) = F_i(x).

Конкурирующими являются следующие гипотезы: ?х (х) ¥>F_Z (х), F_t (x) < F₂ (х) и F₁ (x) > F* (x).

Заметим, что принятие конкурирующей гипотезы Н_г: F_t (х) < F^ (х) означает, что X > Y. Действительно, неравенство F_x (х) < F₂(x) равносильно неравенству Р {X < х) < Р (Y < х). Отсюда легко получить, что Р (X > х) > Р (К> х). Другими словами, вероятность того, что случайная величина X превзойдет фиксированное Действительное число х, больше, чем вероятность слу­чайной величине Y оказаться большей, чем х; в этом смысле X > Y.

Аналогично, если справедлива конкурирующая гипо­теза H₁:F₁ (х) > F₂ (у), то X < Y.

* > В 1945 г. Вилкоксон опубликовал критерий сравнения двух выборок одинакового объема: в 1947 г. Манн и Уитни обобщили кри-^Терий на выборки различного объема.

343

Далее предполагается, что объем первой выбор_к меньше (не больше) объема второй: п_х<;/г₂; если это ц^И так, то выборки можно перенумеровать (поменять местами^

А. Проверка нулевой гипотезы в случае, если объем обеих выборок не превосходит 25. Правило 1. Для тб_Го чтобы при заданном уровне значимости a = 2Q проверить нулевую гипотезу H₀:F_l(x) = F₂(x) об однородности дву_х независимых выборок объемов п_х и п₂ (n_l^.n₂) при конку, рирующей гипотезе H₁:F₁(x)^= F₂(x), надо:

1. расположить варианты обеих выборок в возрастаю, щем порядке, т. е. в виде одного вариационного ряда, и найти в этом ряду наблюдаемое значение кри­ терия №_набл—сумму порядковых номеров вариант пер. вой выборки;

2. найти по таблице приложения 10 нижнюю крити­ ческую точку иу_КИ1КН. _кр (Q; n_lt п₂), где Q =ос/2;

1. найти верхнюю критическую точку по формуле

кр-ЕСЛИ №_набл < Ш_нижн, _кр ИЛИ ^_Иабл>^_Верхи.кр —Нулевую

гипотезу отвергают.

Если ау_нижн. _кр< Г„_абл<ш_верхн. _кр —нет оснований от­вергнуть нулевую гипотезу.

Пример 1. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипо­тезу об однородности двух выборок объемов п_х = 6 и п₂ = 8:

Xi 15 23 25 26 28 29

у,- 12 14 18 20 22 24 27 30

при конкурирующей гипотезе H_l:F_l(x) Ф F₂(x).

Решение, Расположим варианты обеих выборок в виде одного вариационного ряда и перенумеруем их:

порядковые номера... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 варианты ... 12 14 15 18 20 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Найдем наблюдаемое значение критерия Вилкоксона — сумму по­рядковых номеров (они набраны курсивом) вариант первой выборки:

Найдем по таблице приложения 10 нижнюю критическую точку. учитывая, что Q = а/2 = 0,05/2 = 0,025, Пх = 6, п₂ = 8:

м-нижн. кр (0,025; 6, 8) = 29. Найдем верхнюю критическую точку:

-6 —29 = 61.

Так как 29 < 54 < 61, т. е. и;_нижн._кр < №_иабл < ьу_верхн. _кР.^ нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу об однородности выбор"¹⁴'

344

™ Правило 2. При конкурирующей гипотезе Т⁷, (х) > F₂ (x) цаД° найти по таблице нижнюю критическую точку

жн.кЛЗ; «Г. «»). ^гД^е Q па­нели W_Ha6]t > йУ_яиж„. _Кр — нет основании отвергнуть нуле­вую гипотезу.

Если №_набл < ш_ниЖн. _кр—нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Я₁:/^Г₁(л:)<

^ F₂(x) надо найти верхнюю критическую точку:

^_BepxH.Kp(Q; «1. п₂) = (п₁ + п₂+1)п₁—ш_нижи. _KP(Q; n_lt n₂),

где Q = a.

Если ^„абл <^_верхн.кр —нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если W_Ha6jl > ш_верхн. _кр — нулевую гипотезу отвергают.

Замечание. Если несколько вариант только одной выборки одинаковы, то в общем вариационном ряду им припи­сывают обычные порядковые номера (совпавшие варианты нумеруют так, как если бы они были различными числами); если же совпа­дают варианты разных выборок, то всем им присваивают один и тот же порядковый номер, равный среднему арифметическому порядковых номеров, которые имели бы эти варианты до совпадения.

Б. Проверка нулевой гипотезы в случае, если объем хотя бы одной из выборок превосходит 25. 1. При конку­рирующей гипотезе F₁ (x) Ф F₂ (x) нижняя критическая точка

кр

"2/

|_ 12

где Q=a/2; z_KV находят по таблице функции Лапласа по равенству <D(z_KP) = (l—а)/2; знак [а] означает целую часть числа а.

В остальном правило 1, приведенное в п. А, сохра­няется.

2. При конкурирующих гипотезах F_t (x) > F₂ (x) и ^i (x) < F₂ (x) нижнюю критическую точку находят по Формуле (*), положив Q = cc; соответственно z_KV находят ^по таблице функции Лапласа по равенству Ф(г_кр) = ==(1 — 2а)/2. В остальном правила 2—3, приведенные ^в п. А, сохраняются.

Пример 2. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипо-^ТезУ об однородности двух выборок объемов П\ = 30 и п₂ = 50 при кон­курирующей гипотезе H_x'-F\ (x) j= F₂ (x), если известно, что в общем ^Вариационном ряду, составленном из вариант обеих выборок, сумма "°Рядковых номеров вариант первой выборки №_наб_л=1600.

345

Решение. По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид F_t (x) Ф F₂ (x), поэтому критическая область — двусторонняя. Найдем г_кр по равенству

Ф(г_кр) = (1— а)/2 = (1—0,01)/2 = 0,495.

По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим Z_Kp — 2,58".

Подставив п₁ = 30, п₂ = 50, г_кр = 2,58 в формулу (*), получим О'нижн.кр = 954.

Найдем верхнюю критическую точку:

а>верхн.кр=("1+"2+1)п1—ьУнижн.кр = 2430 — 954=1476.

Так как 1600 > 1476, т. е. №_Набл > w_Bep]iiKp~-нулевая гипотеза отвергается.

Задачи

1. По двум независимым выборкам, объемы которых соот­ветственно равны Hi и гц, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и У, найдены исправленные выборочные дисперсии sx и sy. При уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Н_о: D (X)~D (Y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирую­щей гипотезе Н_г: D(X) > D(Y), если:

а) щ=10, n₂ = 16, sx = 3,6, sy = 2,4, а = 0,05;

б) гц = \3, /г₂ = 18, s²x=0,72, sy = 0,20, a = 0,01.

Отв. а) /^?₁₎абл⁼= 1.5; ^кр(0,05; 9; 15) = 2,59. Нет оснований отверг­нуть нулевую гипотезу; б) /^?„_абл = 3,6; /^(0,01; 12; 17) = 3,45. Нуле­вая гипотеза отвергается.

2. По двум независимым выборкам, объемы которых соответст­ венно равны пит, извлеченным из нормальных генеральных сово­ купностей X и Y, найдены выборочные средние х и у. Генеральные дисперсии D (X) и D (Y) известны. При уровне значимости а прове­ рить нулевую гипотезу Я_о: М(Х) = М (Y) о равенстве математиче­ ских ожиданий при конкурирующей гипотезе Н₁:М(Х)^М(У), если:

а) л = 30, m = 20, £»(X)=120, D(F)=100, « = 0,05;

б) л = 50, т = 40, D(X) = 50, D(K)=120, a = 0,01.

Отв. a) Z_Ha6jf=l, z_Kp=l,96. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу; б) 2„_абл=Ю, z_Kp = 2,58. Нулевая гипотеза отвергается.

3. По двум независимым выборкам, объемы которых соответст­ венно равны п = 5 и т = 6, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные средние л:=15,9, «/=14,1 и исправленные выборочные дисперсии sx= 14,76, s^ = 4,92. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Я_о: М (X) — М (Y) о равенстве математических ожиданий при конкурирующей гипотезе H₁:M(X)?bM(Y).

. Указание. Предварительно сравнить дисперсии.

Отв. Т_набл = 0,88, *_Кр(0,05; 9) = 2,26. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

4. Из нормальной генеральной совокупности с известным сред­ ним квадратическим отклонением а —2,1 извлечена выборка объема

346

_rt^=49 и по ней найдена выборочная средняя х = 4,5. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Я_о: а — 3 о ра­бстве математического ожидания гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе Н_г: а Ф 3.

Отв. (/_набл = 5, ы_Кр=1»96. Нулевая гипотеза отвергается.

5. По выборке объе-ма л =16, извлеченной из нормальной гене-

пзльной совокупности, найдены выборочная средняя х=12,4 и ^справленное» среднее квадратическое отклонение s = 1,2. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Я_о: а=11,8 ₀ равенстве математического ожидания гипотетическому значению _пРи конкурирующей гипотезе Нх'.аф 11,8.

Отв. Т_нлбл = 2, *_кр (0,05; 15)==2,13. Нет оснований

*_кр (0,05; 15) = 2,13. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

6. Двумя приборами измерены 5 деталей. Получены следующие результаты (мм):

#1 = 4, дс_а ^= 5, Хд = 6, Хд = 7, х_&=8 ^1 = 5, г/₂ = 5, у₃ = 9, «/4 = 4, «/₆=6

При уровне значимости 0,05 проверить, значимо или незначимо раз­личаются результаты измерений.

Отв. Т_набл= 10,54, ^_кр (0,05; 4) = 2,78. Различие результатов измерений значимое.

7. По 100 независимым испытаниям найдена относительная час­ тота /п/п = 0,15. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н₀:р = 0,17 о равенстве относительной частоты гипотетиче­ ской вероятности при конкурирующей гипотезе Н_х'-р ф 0,17.

Отв. | £/_н'_абл 1=0,53, ы_кр=1,96. Нет оснований отвергнуть нуле­вую гипотезу.

8. Из партии картона фабрики № 1 случайно отобрано 150 листов, среди которых оказалось 12 нестандартных; из 100 листов картона фабрики № 2 обнаружено 15 нестандартных. Можно ли считать на пятипроцентном уровне значимости, что относительные частоты полу­ чения нестандартного картона обеими фабриками различаются зна­ чимо?

Указание. Принять в качестве конкурирующей гипотезы Н\-Р\ Ф Pi-

Отв. £/_набл = —1,75; «_кр=1,96. Различие относительных частот незначимое.

9. По пяти независимым выборкам, объемы которых соответст­ венно равны /ii = 7, п₂=9, п₃—10, п₄ = 12, п_б = 12, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выбо­ рочные дисперсии: 0,27; 0,32; 0,40; 0,42; 0,48. При уровне значи­ мости 0,05 [проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий (критическая область — правосторонняя).

Указание. Использовать критерий Бартлетта (см. § 20). Отв. К = 6,63, Хкр(0,05; 4) =9,5. Нет оснований отвергнуть нуле­вую гипотезу.

10. По 4етырем независимым выборкам одинакового объема п = 17, Извлеченным из нормальных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии: 2,12; 2,32; 3,24; 4,32. Требуется: а) при Уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу О равенстве

енеральных дисперсий (критическая область —правосторонняя); Ч оценить генеральную дисперсию.

Указание. Использовать критерий Кочрена (см. § 21).

347

Отв. а) О„абл = 0,36; G_Kp (0,05; 16; 4) = 0,4"66. Нет отвергнуть нулевую гипотезу; б) о = 3. "^1|

11. По выборке объема я = 62, извлеченной из двумерной ц₀ мальной совокупности (X, Y), найден выборочный коэффициент ^' реляции г_в = 0,6. При уровне значимости 0,05 проверить нулеву гипотезу Я₀:/-_г = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента цо^ реляции при конкурирующей гипотезе г_г Ф 0. ^

Отв. 7\,_абл = 5,81, /_кр(0,05; 60) = 2,0. Нулевая гипотеза отв_ев гается. ^р"

12. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормад_ь ном распределении генеральной совокупности, если известны эмпир^ ческие (приведены в первой строке) и теоретические частоты (прц_Ве[ дены во второй строке):

а) 6 12 16 40 13 8 5

4 11 15 43 15 6 6 .

б) 5 6 14 32 43 39 30 20 6 5 4 7 12 29 48 35 34 18 7 6

в) 5 13 12 44 8 12 6 2 20 12 35 15 10 6

Отв. Хнабл = 2,5, Хкр (0,05; 4) = 9,5. Нет оснований отвергнуть гипотезу; б) х^абл = 3, Хк_Р(0,05; 7)= 1461. Нет оснований отверг-

Х_Р нуть гипотезу; в)Хнабл = 13, Хкр (0,05; 4) = 9,5. Гипотеза отвергается.

13. а) Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена по данным рангам объектов выборки объема я =10:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
4	3	5	8	6	1	7	10	2	9

yi

б) значима ли ранговая корреляционная связь при уровне значи­мости 0,05?

Отв. а) р_в = 1/3; б) 7'_Кр = 0,77; корреляционная ранговая связь

незначима.

14. а) Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла по данным рангам объектов выборки объема я = 10:

л:,- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 У1 4 3 5 8 6 1 7 10 2 9

б) значима ли ранговая корреляционная связь при уровне значи­мости 0,05?

Отв. а) т_в = 0,29; б) Г_кр = 0,96; ранговая корреляционная связь незначима.

15. Известны результаты измерения (мм) изделий двух выборок, объемы которых соответственно равны я_х = 6 и я₂ = 6:

Х( 12 10 8 15 14 11 У1 13 9 16 17 7 18

При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу F_t (x) = F^ (*' об однородности выборок при конкурирующей гипотезе Hi'.Fiix)? Ф F₂ (х).

Указание. Использовать критерий Вилкоксона. „

Отв. Нулевая гипотеза отвергается: ш_Нижн. кр (0.025; 6; 6) = ^ '

52 № ⁷0 '

рхн.кр = 52, №набл = ⁷0- _тИ

16. Используя критерий Вилкоксона, при уровне значимо¹-^ 0,05 -проверить нулевую гипотезу об однородности двух выбор⁰ ■

348

которых соответственно равны Л! = 30 и п₂ = 50, при конку-рующей гипотезе F_t(x) > F₂(x), если известно, что сумма поряд­ных номеров вариант первой выборки в общем вариационном ряду

. Her основании отвергнуть нулевую гипотезу:

. кр (0,05; 30; 50) = 1048. ш_верхн. _кр = 1382.

Глава двадцатая

ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ