§ 26. Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла и проверка гипотезы о его значимости

Можно оценивать связь между двумя качествен­ными признаками, используя коэффициент ранговой кор­реляции Кендалла. Пусть ранги объектов выборки объема п [здесь сохранены все обозначения § 25):

по признаку А х_г, х₂, ..., х_п по признаку В у_х, у₂, .... у_п

Допустим, что правее г/, имеется R₁ рангов, больших */,; правее у₂ имеется R₂ рангов, больших у₂; . . . ; правее у_п-_х имеется R_n-_t рангов, больших у_п-_г. Введем обозначение суммы рангов R_{(i = l, 2 п—1):

Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кен­далла определяется формулой

(л—1)]—1, (•)

п-\

где п — объем выборки, R— 2 Ri-

i=\

Убедимся, что коэффициент Кендалла имеет те же свойства, что и коэффициент Спирмена.

1. В случае «полной прямой зависимости» признаков

Х^ =1, Х₂ = Z, ..., Х_п = П

Правее у₁ имеется п—1 рангов, больших у_и поэтому R_x = n—1. Очевидно, что R_t = n — 2, .... R_n__t= 1. Следо­вательно,

(**)

Подставив (**) в (*), получим

т = 1

2. В случае «противоположной зависимости»

х_г = 1, х₂ = 2, .... х_п = п 0i = я. Уг = "-— 1» •••> Уп^^

341

Правее y_t нет рангов, больших у_х\ поэтому R₁ = 0. видно, что Я_г = R₃ — ... = /?„_! = 0. Следовательно,

# = 0. (***>

Подставив (***) в (*), получим

т_в=-1.

Замечание. При достаточно большом объеме выборки и пр_и значениях коэффициентов ранговой корреляции, не близких к едц. нице, имеет место приближенное равенство

р_в = (3/2)т_в.

Пример 1. Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла по данным рангам объектов выборки объема я =10:

по признаку А ... Х[ 1 2 3 4 5 6^789 10 по признаку В ... y_t 6 4 8 1 2 5 10 3 7 9

Решение. Правее i/i = 6 имеется 4 ранга (8, 10, 7, 9), боль­ших у_1у поэтому #₁ = 4. Аналогично найдем: #₂ = 5, /?₃ = 2, #₄ = 6, Я_э = 5, /?_в = 3, #7 = 0. #8=2, #9 = 1. Следовательно, сумма рангов # = 28.

Найдем искомый коэффициент ранговой корреляции Кендалла, учитывая, что/г = 10:

T_B = [4#/rt(n—l)] — l =[4-28/10-9] —1=0,24.

Приведем правило, позволяющее установить значи­мость или незначимость ранговой корреляционной связи Кендалла.

Правило. Для того чтобы при уровне значимости а, проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генераль­ного коэффициента ранговой корреляции т_г Кендалла при конкурирующей гипотезе Н₁:х_г^0, надо вычислить критическую точку:

Т =z

где п — объем выборки; z_KP—критическая точка двусто­ронней критической области, которую находят по таблице функции Лапласа по равенству Ф(г_кр) = (1—а)/2.

Если \t_B\<.T_KP—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Ранговая корреляционная связь между качест­венными признаками незначимая.

Если |т_в| > Т_кр — нулевую гипотезу отвергают. Между качественными признаками существует значимая ранговая корреляционная связь.

Пример 2. При уровне значимости 0,05 проверить, является л^и ранговая корреляционная связь т_в = 0,24, вычисленная в примере Ь значимой?

342

Решение. Найдем критическую точку г_кр:

Ф(г_кр) = (1-а)/2 = (1-0,05)/2 = 0,475.

■Jo таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим z_Kp=l,96. Найдем критическую точку:

9я(_л_1) '

[одставив г_ко=1,96 и /г=10, получим Г_ко'== 0,487. В примере 1 _в = 0,24.

Так как т„ < Т_кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу; ранговая корреляционная связь между признаками незначимая.