§ 24. Методика вычисления теоретических частот нормального распределения

Как следует из предыдущего параграфа, сущность критерия согласия Пирсона состоит в сравнении эмпири­ческих и теоретических частот. Ясно, что эмпирические частоты находят из опыта. Как найти теоретические часто­та если предполагается, что генеральная совокупность распределена нормально? Ниже приведен один из способов решения этой задачи.

1. Весь интервал наблюдаемых значений X (выборки объема п) делят на s частичных интервалов (x_h x_i+1) оди­наковой длины. Находят середины частичных интервалов xl = (Xi + x_i+l)l2\ в качестве частоты п,- варианты х* при­нимают число вариант, которые попали в t-й интервал. В итоге получают последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот:

п_х п₂ ... n_s

При этом ^п,- = п.

2. Вычисляют, например методом произведений, выбо­ рочную среднюю х* и выборочное среднее квадратическое отклонение а*.

3. Нормируют случайную величину X, т. е. переходят к величине Z = (X—x*)ja* и вычисляют концы интервалов to. ^zi+iY-

_Z( = {_х.—х*)/о*, z_i+i = (x_{+i—x*)/o*,

причем наименьшее значение Z, т. е. z_it полагают равным — оо, а наибольшее, т. е. z_s, полагают равным оо.

4. Вычисляют теоретические вероятности р,- попадания X в интервалы (х₍, х_{+1) по равенству (Ф(г)—функция Лапласа)

и, наконец, находят искомые теоретические частоты n't = n_Pi.

Пример. Найти теоретические частоты по заданному интервально-^МУ распределению выборки объема п==200, предполагая, что генераль­ная совокупность распределена нормально (табл. 27).

Решение 1. Найдем середины интервалов х^ = (ж,- + дг,-₊₁)/2. На­пример, xj — (4-j-6)/2 = 5. Поступая аналогично, получим последова-

333

тельность равноотстоящих вариант х* и соответствующих им частот

5 15

7 26

9 25

11 13 30 26

15 21

17 24

19 21

20 13

2. Пользуясь методом произведений, найдем выборочную и выборочное среднее квадратическое отклонение:

Р = 12,63, а* = 4,695.

3. Найдем интервалы (г,-, г,-₊₁), учитывая, что х*= 12,63, о*-, = 4,695, 1/а* = 0,213, для чего составим расчетную табл. 28.

Таблица 27

Номер интер­вала	Границы интервала		Номер Частота интер­вала		Границы интервала		Частота
1	*/		"' II '		*/		"i
1 2 3 4 5	4 6 8 10 12	6 8 10 12 14	15 26 25 30 26	6 7 8 9	14 16 18 20	16 18 20 22	21 24 20 13
							я = 200

4. Найдем теоретические вероятности р[ и искомые теоретические частоты п'_{=пр,, для чего составим расчетную табл. 29.

Таблица 28

i	Границы интервала		х.-х *	— *	Границы интервала
					= (х.~х »)/а*	=<*,+1'-**)/с*
1 2 3 4 5 6 7 8 9	4 6 8 10 12 14 16 18 20	6 8 10 12 14 16 18 20 22	—6,63 —4,63 —2,63 —0,63 1,37 3,37 5,37 7,37	—6,63 —4,63 —2,63 —0,63 1,37 3,37 5,37 7,37	00 -1,41 —0,99 —0,156 —0,13 0,29 0,72 1,14 1,57	-1,41 —0,99 —0,56 —0,13 0,29 0,72 1,14 1,57 00

334

Таблица 29

i	Границы интервала				- Ф <zt)	n'i=npl = 200 Pi
	Ч
1 2 3 4 5 6 7 8 9	00 —1.41 —0,99 —0,56 —0,13 0,29 0,72 1,14 1,57	— 1,41 —0,99 —0,56 —0,13 0,29 0,72 1,14 1,57 00	—0,5 —0,4207 —0,3389 —0,2123 —0,0517 0,1141 0,2642 0,3729 0,4418	—0,4207 —0,3389 —0,2123 —0,0517 0,1141 0,2642 0,3729 0,4418 0,5	0,0793 0,0818 0,1266 0,1606 0,1658 0,1501 0,1087 0,0689 0,0582	15,86 16,36 25,32 32,12 • 33,16 30,02 21,74 13,78 11,64
					!>, = !	5Х = 200 '

Искомые теоретические частоты помещены в последнем столбце табл. 29.