§ 22. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции

Пусть двумерная генеральная совокупность (X, Y) распределена нормально. Из этой совокупности из­влечена выборка объема п и по ней найден выборочный коэффициент корреляции г_в, который оказался отличным от нуля. Так как выборка отобрана случайно, то еще нельзя заключить, что коэффициент корреляции генераль­ной совокупности г_г также отличен от нуля. В конечном счете нас интересует именно этот коэффициент, поэтому возникает необходимость при заданном уровне значи­мости а проверить нулевую гипотезу Н_о:г_т — 0 о равен­стве нулю генерального коэффициента корреляции при Конкурирующей гипотезе Н₁:г_т = 0.

Если нулевая гипотеза отвергается, то это означает, что выборочный коэффициент корреляции значимо отли­чается от нуля (кратко говоря, значим), а X и Y корре-^лированы, т. е. связаны линейной зависимостью.

Если нулевая гипотеза будет принята, то выбо­рочный коэффициент корреляции незначим, а X и У не-^Коррелированы, т. е. не связаны линейной зависимостью.

327

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы при. мем случайную величину

В еличина Т при справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдента с k = n — 2 степенями свободы

Поскольку конкурирующая гипотеза имеет видг_г^о' критическая область—двусторонняя; она строится так же, как в § 12 (первый случай).

Обозначим значение критерия, вычисленное по дан­ным наблюдений, через Т_набл и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило. Для того чтобы при заданном уровне зна­чимости а проверить нулевую гипотезу Н₀:г_г = 0 о ра­венстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конку­рирующей гипотезе Н₁:г_тФ0, надо вычислить наблюда­емое значение критерия:

набл"

гУп-2/VT-rl

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости и числу степеней сво­боды k — n — 2 найти критическую точку t_KP(a; k) для двусторонней критической области.

Если |7'_набл|</_кр — нет оснований отвергнуть нуле­вую гипотезу.

Если | Т'набл I > ^кр — нулевую гипотезу отвергают.

Пример. По выборке объема я =122, извлеченной из нормальной двумерной совокупности, найден выборочный коэффициент корреля­ции г_в = 0,4. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипо­тезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе Н₁:г_г Ф 0.

Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия:

Т'набл = г_в^^/'^=2/]/'737| = 0,41/'122-2/|/'1—0,4² = 4,78.

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид г_г Ф 0, поэтому критическая область — двусторонняя.

По уровню значимости 0,05 и числу степеней свободы k =; = 122 — 2=120 находим по таблице приложения 6 для двусторонней критической области критическую точку *_кр(0,05; 120) = 1,98.

Поскольку Г_наб_л > *_кр — нулевую гипотезу отвергаем. Другими словами, выборочный коэффициент корреляции значимо отличается о^т нуля, т. е. X и К коррелированы.

328

§ 23. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. < Критерий согласия Пирсона

В предыдущих параграфах закон распределения генеральной совокупности предполагается известным.

Если закон распределения неизвестен, но есть осно­вания предположить, что он имеет определенный вид (назовем его А), то проверяют нулевую гипотезу: гене­ральная совокупность распределена по закону А.

Проверка гипотезы о предполагаемом законе неизве­стного распределения производится так же, как и про­верка гипотезы о параметрах распределения, т. е. при помощи специально подобранной случайной величины — критерия согласия.

Критерием согласия называют критерий проверки ги­потезы о предполагаемом законе неизвестного распреде­ления.

Имеется несколько критериев согласия: %² («хи квад­рат») К. Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др. Огра­ничимся описанием применения критерия Пирсона к про­верке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности (критерий аналогично применяется и для других распределений, в этом состоит его достоинство). С этой целью будем сравнивать эмпирические (наблюда­емые) и теоретические (вычисленные в предположении нормального распределения) частоты.

Обычно эмпирические и теоретические частоты раз­личаются. Например (см. гл. XVII, § 7):

эмп. частоты 6 13 38 74 106 85 30 10 4

теорет. частоты...3 14 42 82 99 76 37 11 2

Случайно ли расхождение частот? Возможно, что рас­хождение случайно (незначимо) и объясняется либо ма­лым числом наблюдений, либо способом их группировки, либо другими причинами. Возможно, что расхождение Частот неслучайно (значимо) и объясняется тем, что тео­ретические частоты вычислены исходя из неверной гипо­тезы о нормальном распределении генеральной совокуп­ности.

Критерий Пирсона отвечает на поставленный выше вопрос. Правда, как и любой критерий, он не доказы­вает справедливость гипотезы, а лишь устанавливает на

329

принятом уровне значимости ее согласие или с данными наблюдений.

Итак, пусть по выборке объема п получено ческое распределение:

варианты x_t х₁ х₂ ... x_s

эмп. частоты. . .я,- п₁ п₂ . .. n_s

Допустим, что в предположении нормального распр_е деления генеральной совокупности вычислены теорет^ ческие частоты п\ (например, так, как в следующем па-раграфе). При уровне значимости а требуется проверить нулевую гипотезу: генеральная совокупность распред_е. лена нормально.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы при-мем случайную величину

х²=2 («,•-«№;. (*)

_Эта величина случайная, так как в различных опытах она принимает различные, заранее не известные значе­ния. Ясно, что чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем меньше величина критерия (*), и, следовательно, он в известной степени характеризует близость Эмпирического и теоретического распределений.

Заметим, что возведением в квадрат разностей частот устраняют возможность взаимного погашения положи­тельных и отрицательных разностей. Делением на п\ до­стигают уменьшения каждого из слагаемых; в против­ном случае сумма была бы настолько велика, что при­водила бы к отклонению нулевой гипотезы даже и тогда, когда она справедлива. Разумеется, приведенные сооб­ражения не являются обоснованием выбранного крите­рия, а лишь пояснением.

Доказано, что при п—► оо закон распределения слу­чайной величины (*) независимо от того, какому закону распределения подчинена генеральная совокупность, стре­мится к закону распределения %² с k степенями свободы. Поэтому случайная величина (*) обозначена через %², ^г сам критерий называют критерием согласия «хи квадрат»'

Число степеней свободы находят по равенству k = = s—1—г, где s — число групп (частичных интервалов) выборки; г — число параметров предполагаемого распр^е" деления, которые оценены по данным выборки.

В частности, если предполагаемое распределение — ноР' мальное, то оценивают два параметра (математическо^е

330

ание и среднее квадратическое отклонение), поэтому и число степеней свободы k — s— 1—r — s—1—2 =

Если, например, предполагают, что генеральная сово­купность распределена по закону Пуассона, то оцени­ваю¹" один параметр 'к, поэтому г = \ и k — s— 2.

Поскольку односторонний критерий более «жестко» отвергает нулевую гипотезу, чем двусторонний, построим правостороннюю критическую область, исходя из требо­вания, чтобы вероятность попадания критерия в эту об­ласть в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости а:

Таким образом, правосторонняя критическая область определяется неравенством х²>Хкр (&;&), а область при­нятия нулевой гипотезы — неравенством х^а < %l_p(a; k).

Обозначим значение критерия, вычисленное по дан­ным наблюдений, через Хнабл и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило. Для того чтобы при заданном уровне зна­чимости проверить нулевую гипотезу Я_о; генеральная совокупность распределена нормально, надо сначала вы­числить теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерия:

Хнабл=2("<— П-У/ГЦ (**)

и по таблице критических точек распределения %². по заданному уровню значимости а и числу степеней сво­боды & = s — 3 найти критическую точку Хкр(^а'^)-

Если Хнабл <Хкр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если Хнабл > Хкр — нулевую гипотезу отвергают.

Замечание 1. Объем выборки должен быть достаточно велик, во всяком случае ,не менее 50. Каждая группа должна содержать не Менее 5—8 вариант; малочисленные группы следует объединять в од-^НУ> суммируя частоты.

Замечание 2. Поскольку возможны ошибки первого и вто­рого рода, в особенности если согласование теоретических и эмпи­рических частот «слишком хорошее», следует проявлять осторожность. Например, можно повторить опыт, увеличить число наблюдений, вос-^п°льзоваться другими критериями, построить график распределения, ^числить асимметрию и эксцесс (см. гл. XVII, § 8).

Замечание 3. Для' контроля вычислений формулу (**) пре-^0бРазуют к виду

'б =[2"²/"'] — ⁿ-

331

Рекомендуем читателю выполнить это преобразование самостоятельн для чего надо в (**) возвести в квадрат разность частот, сократи^' результат на n't и учесть, что 2п,- = я, 7,n'i = n.

Пример. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о ноп мальном распределении генеральной совокупности, если известны _э^~ лирические и теоретические частоты:

эмп. частоты 6 13 38 74 106 85 30 14

теорет. частоты...3 14 42 82 99 76 37 13

Для чего составим

Хнабл,

Решение. Вычислим табл. 26.

Контроль: £

— n = 373,19— 366 = 7,19.

Вычисления произведены правильно.

Найдем число степеней свободы, учитывая, что число групп вы­борки (число различных вариант) s = 8; k = 8 — 3 = 5.

Та.блица 26

1	2	3	4	5	6	7	8
i	"i	n'i				«?	-?/-;
1 2 3 4 5 6 7 8	6 13 38 74 106 85 30 14	3 14 42 82 99 76 37 13	3 —1 —4 —8 7 9 —7 1	9 1 16 64 49 81 49 1	3 0,07 0,38 0,78 0,49 1,07 1,32 0,08	36 169 1444 5476 11236 7225 900 196	12 12,07 34,38 66,78 113,49 95,07 24,32 15,08
2	366	366			„2 = 76J9		373,19

По таблице критических точек распределения х² (см. приложе­ние 5), по уровню значимости а = 0,05 и числу степеней свободы k = 5 находим Хкр(0,05; 5)= 11,1.

Так как Хнабл < Хкр — нет оснований отвергнуть нулевую гипо­тезу. Другими словами, расхождение эмпирических и теоретических частот незначимое. Следовательно, данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности-

332