§ 21. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам одинакового объема. Критерий Кочрена

Пусть генеральные совокупности X_lt Х₂, ..., Х_г распределены нормально. Из этих совокупностей из­влечено / независимых выборок одинакового объе­ма/г и по ним найдены исправленные выборочные дис­персии si, si, ..... s²i, все с одинаковым числом степеней свободы k — n — I.

Требуется по исправленным дисперсиям при заданном Уровне значимости а проверить нулевую гипотезу, со­стоящую в том, что генеральные дисперсии рассматрива-^емых совокупностей равны между собой:

Другими словами, требуется проверить, значимо или незначимо различаются исправленные выборочные дис-^ПеРсии.

325

В рассматриваемом случае выборок одинакового б ема можно по критерию Фишера — Снедекора (см. § сравнить наибольшую и наименьшую дисперсии; окажется, что различие между ними незначимо, то давно незначимо и различие между остальными диспер. сиями. Недостаток этого метода состоит в том, что ин­формация, которую содержат остальные дисперсии, кром_е наименьшей и наибольшей, не учитывается.

Можно также применить критерий Бартлетта. Однако как указано в § 20, известно лишь приближенное распределение этого критерия, поэтому предпочтительнее использовать критерий Кочрена, распределение которого найдено точно.

Итак, в качестве критерия проверки нулевой гипо­тезы примем критерий Кочрена — отношение максималь­ной исправленной дисперсии к сумме всех исправленных дисперсий:

Распределение этой случайной величины зависит только от числа степеней свободы k = n—1 и количества выбо­рок /.

Критическую область строят правостороннюю, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости:

P\G>G_KP(a;k, /)]-«.

Критическую точку G_KV(a\k, l) находят по таблице приложения 8, и тогда правосторонняя критическая об­ласть определяется неравенством G > G_KP, а область при­нятия нулевой гипотезы — неравенством G < G_Kp.

Обозначим значение критерия, вычисленное по дан­ным наблюдений, через 6_набл и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило. Для того чтобы при заданном уровне зна­чимости а проверить гипотезу об однородности диспер­сий нормально распределенных совокупностей, надо вы­числить наблюдаемое значение критерия и по таблии^е найти критическую точку.

Если G_Ha6ll < G_Kp — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если G_Ha6j>G_Kp — нулевую гипотезу отвергают.

326

Замечание. Если требуется оценить генеральную дисперсию, _при условии однородности дисперсий целесообразно принять в ка-_стве ее оценки среднюю арифметическую исправленных выбороч-Гых дисперсий.

Пример. По четырем независимым выборкам одинакового объема ^17, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, най-"е^ы исправленные дисперсии: 0,26; 0,36; 0,40; 0,42. Требуется: ) при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об одно-одности генеральных дисперсий (критическая область — правосторон­няя); б) оценить генеральную дисперсию.

решение, а) Найдем наблюдаемое значение критерия Кочре-_на^-отношение максимальной исправленной дисперсии к сумме всех дисперсий:

б„абл = 0,42/(0,26 + 0,36 + 0,40 + 0,42) = 0,2917.

Найдем по таблице приложения 8, по уровню значимости 0,05, числу степеней свободы £=17—1 = 16 и числу выборок 1 = 4 критическую точку С„_Р(0,05; 16; 4) = 0,4366.

Так как G,_la6_a < G_Kp—нет оснований отвергнуть нулевую гипо­тезу об однородности дисперсий. Другими словами, исправленные выборочные дисперсии различаются незначимо.

б) Поскольку нулевая гипотеза справедлива, в качестве оценки генеральной дисперсии примем среднюю арифметическую исправлен­ных дисперсий:

0²= (0,26 + 0,36+0,40 + 0,42)/4 = 0,36.