§ 20. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам различного объема. Критерий Бартлетта

Пусть генеральные совокупности Х_г, Х₂, ..., Х_г распределены нормально. Из этих совокупностей извле­чены независимые выборки, вообще говоря, различных объемов п_и п₂, ..., n_t (некоторые объемы могут быть одинаковыми; если все выборки имеют одинаковый объем, то предпочтительнее пользоваться критерием Кочрена, который описан в следующем параграфе). По выборкам найдены исправленные выборочные дисперсии s\, si, ..., s^-Требуется по исправленным выборочным дисперсиям при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой:

322

Другими словами, требуется установить, значимо ^ незначимо различаются исправленные выборочные дисперсии.

Рассматриваемую здесь гипотезу о равенстве несколь-^лх дисперсий называют гипотезой об однородности д_исперсий.

Заметим, что числом степеней свободы дисперсии s* на­зывают число k_l — n_i—1, т. е. число, на единицу мень­шее объема выборки, по которой вычислена дисперсия.

Обозначим через s² среднюю арифметическую исправ­ленных дисперсий, взвешенную по числам степеней свободы:

г где k = 2 k_lt

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы об однородности дисперсий примем критерий Бартлетта — случайную величину

где

V = 2,303 Гk lg s* — 2 k, lg sf 1, " ^c = 1 + Т(7=ГТ) [S -Щ—T J '

Бартлетт установил, что случайная величина В при условии справедливости нулевой гипотезы распределена приближенно как х^а с Z—1 степенями свободы, если все ki > 2. Учитывая, что й,- = п,-—1, заключаем, что /г,— — 1 > 2, или ft,- > 3, т. е. объем каждой из выборок Должен быть не меньше 4.

Критическую область строят правостороннюю, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия ^в эту область.в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости:

Критическую точку %кр(^а;'—1) находят по таблице ^пРиложения 5, по уровню значимости а и числу степеней

323

свободы k = I — 1, и тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством В > х«р» а область принятия гипотезы — неравенством В < у£_р.

Обозначим значение критерия Бартлетта, вычисленное по данным наблюдений, через Б_наб_л и сформулируем пра. вило проверки нулевой гипотезы.

Правило. Для того чтобы при заданном уровне зна­чимости а проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий нормальных совокупностей, надо вычислить наблюдаемое значение критерия Бартлетта B = V/C и по таблице критических точек распределения %² найти кри­тическую точку Хкр(^а'. I—!)•

Если В_иа6я < Хкр—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если Я_Вабл>%кр—нулевую гипотезу отвергают.

Замечание 1. Не следует торсрпиться вычислять постоян­ную С. Сначала надо найти V и сравнить с %кр! если окажется, что

V < Хкр. ^то подавно (так как С > l)B=(V/C) < %кр и, следовательно, С вычислять не нужно.

Если же V > Хкр. то надо вычислить С и затем сравнить В с х*р-

Замечание 2. Критерий Бартлетта весьма чувствителен

к отклонениям распределений от нормального, поэтому к выводам,

полученным по этому критерию, надо относиться с осторожностью.

Таблица 25

1	2	3	4	5	6	7	8
Номер вы­борки	Объем вы­борки "/	Число степе­ней сво­боды */	Дис­пер­сии '?			*,!*•?	I/ft,-
1	10	9	0,25	2,25	1,3979	6,5811
2	13	12	0,40	4,80	1,6021	5,2252
3	15	14	0,36	5,04	1,5563	7,7822
4	16	15	0,46	6,90	1,6628	6,9420
		fe = 50		18,99		22,5305

324

Пример. По четырем независимым выборкам, объемы которых ответственно равны /ij^lO, n₂==l2, п_а—1Ь, и₄=16, извлеченным _л3 нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии, соответственно равные 0,25; 0,40; 0,36; 0,46. г|ри уровне значимости 0,05 проверить гипотезу об однородности дисперсий (критическая область — правосторонняя). ^ Решение. Составим расчетную табл. 25 (столбец 8 пока запол­нять не будем, поскольку еще неизвестно, понадобится ли вычис­лять С).

Пользуясь расчетной таблицей, найдем:

"s² = (2 ^к1пУ^к = 18,99/50 = 0,3798; lg 0,3798 = 1~5795; V ==2,3031> lgl² — 2 Ь₍ lg sf] = 2,303 [50.1,5795—22,5305] = 1,02.

По таблице приложения 5, по уровню значимости 0,05 и числу степеней свободы /—1=4—1=3 находим критическую точку £_р (0,05; 3) = 7,8.

Так как V < Хкр, то подавно (поскольку С > 1) В_Набл = (^/С) < < Хкр ^и> следовательно, отвергнуть нулевую гипотезу об однородно­сти дисперсий нет оснований. Другими словами, исправленные вы­борочные дисперсии различаются незначимо.

Замечание 3. Если требуется оценить генеральную диспер­сию, то при условии однородности дисперсий целесообразно принять в качестве ее оценки среднюю арифметическую исправленных диспер­сий, взвешенную по числам степеней свободы, т. е.

Например, в рассмотренной задаче в качестве оценки генеральной дисперсии целесообразно принять 0,3798.