§ 19. Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений

Пусть в двух генеральных совокупностях про­изводятся независимые испытания; в результате каждого испытания событие А может появиться либо не появиться. Обозначим неизвестную вероятность появления собы­тия А в первой совокупности через р_г, а во второй — через р₂. Допустим, что в первой совокупности произ­ведено п_х испытаний (извлечена выборка объема п_х), причем событие А наблюдалось т_х раз. Следовательно, относи­тельная частота появления события в первой совокупности

Допустим, что во второй совокупности произведено п_г испытаний (извлечена выборка объема п₂), причем собы­тие А наблюдалось пг₂ раз. Следовательно, относительная частота появления события во второй совокупности

ш_а (А) = mjn^

Примем наблюдавшиеся относительные частоты в ка­честве оценок неизвестных вероятностей появления собы­тия Л: p₁caw_l, p₂~w₂. Требуется при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что вероятности р_х и р₂ равны между собой:

Заметим, что, поскольку вероятности оцениваются по относительным частотам, рассматриваемую задачу можно сформулировать и так: требуется установить, значимо или незначимо различаются относительные частоты w_x и хю_г.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы при­мем случайную величину

U = MJti! — М₂/п₂ У(

319

Величина U при справедливости нулевой гипотезы распределена приближенно нормально о параметрами М (U) «= 0 и о (U) = 1 (см. далее пояснение). В формуле (*) вероятность р неизвестна, поэтому заменим ее оценкой наибольшего правдоподобия (см. гл. XVI, § 21, пример 2);

кроме того, заменим случайные величины М_г и М_г их возможными значениями т_г и /л₂, полученными в испы. таниях. В итоге получим рабочую формулу для вычис-ления наблюдаемого значения критерия:

1 /"m_ + т_а Л_£_4__Л /_1 ■ 1_

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы так же, как в § 10, поэтому ограничимся формулировкой правил проверки нулевой гипотезы.

Правило 1« Для того чтобы при заданном уровне зна­чимости а проверить нулевую гипотезу #₀:p_x — р_г — р о равенстве вероятностей появления события в двух генеральных совокупностях (имеющих биномиальные рас­пределения) при конкурирующей гипотезе Я₁:р₁^=р₂, надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

"i + "a V «1+"г У \% п₂

и по таблице функции Лапласа найти критическую точку ы_кр по равенству Ф(ы_кр) = (1—а)/2.

Если |^_Набл|<"кр—^нет оснований отвергнуть нуле­вую гипотезу.

Если |£/_набл|>м_кр—нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н₁:р₁>Р$ находят критическую точку правосторонней критической области по равенству Ф(и_кр) = (1 —2а)/2.

Если и_яабл < ы_кр—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если £/_набл>и_кр—нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе H₁:p₁<Pi находят критическую точку ы_кр по правилу 2, а затем полагают границу левосторонней критической области

«ир =* — "кр.

820

Если £/_набл >—"к_Р — нет оснований отвергнуть нуле-

гипотезу. Если С/_набл <—«к_Р — нулевую гипотезу отвергают.

Пример. Из первой партии изделий извлечена выборка объема _п ==1000 изделий, причем m₁ = 2Q изделий оказались бракованными; _И3 второй партии извлечена выборка объема п = 900, причем /«2 = 30 „зделий оказались бракованными. При уровне значимости ос = 0,05 „поверить нулевую гипотезу Н₀:р₁ = р₂ = р о равенстве вероятностей _пОявления брака в обеих партиях при конкурирующей гипотезе

Ц_г: Pi 5^ Рг-

Решение. По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид „j ф р₂, поэтому критическая область — двусторонняя.

Найдем наблюдаемое значение критерия:

_ ^и набл —'

V П\ -f- /J2 \ 1j -j- Л₂ / \ Пх П% )

Подставив данные задачи и выполнив вычисления, получим

fa = -1.81.

Найдем критическую точку:

Ф(и_кр) = (1—а)/2 = (1—0,05)/2 = 0,475.

По таблице фу«кции Лапласа (см. приложение 2) находим и_кр=1,96.

Так как | 6/_Набл I < "кр —^нет оснований отвергнуть нулевую ги­потезу. Другими словами, вероятности получения брака в обеих партиях различаются незначимо.

Замечание. Для увеличения точности расчета вводят так называемую поправку на непрерывность, а именно вычисляют наблю­даемое значение критерия по формуле

[ifij/nj-f I/2n_t]

«2 /

П! + П₂ \ П! + П₂/ V«l

В рассмотренном примере по этой формуле получим | (/_Набл I =1,96. Поскольку и ы_кр = 1,96, необходимо провести дополнительные испыта­ния, причем целесообразно увеличить объем выборок.

Пояснение. Случайные величины M_t и М₂ рас­пределены по биномиальному закону; при достаточно большом объеме выборок их можно считать приближенно нормальными (практически должно выполняться неравен­ство npq~>9), следовательно, и разность V' — М_х1п_х — ^~ М₂/гс₂ распределена приближенно нормально.

Для нормирования случайной величины V надо вы-Честь из нее математическое ожидание М (U¹) и разделить Результат на среднее квадратическое отклонение o(U').

Покажем, что M(U') = 0. Действительно, М (М_х) = ^ п₁р₁ (см. гл. VII, § 5, замечание); при справедливости

U-181 ³²¹

нулевой гипотезы (p_t = р₂ = р) М (MJ^n^p и аналогично М (М_г) = п₂р. Следовательно,

М(М,)

Покажем, что среднее квадратическое отклонение о (W) = |/р(1-р)[(1/п_х) + (1/п₂)].

Действительно, дисперсия D (М_г) — п₁р₁ (1—р_г) (см. гл. VIII, § 6, замечание); при справедливости нулевой гипотезы (р₁ = р₂ = р) DlMJ^n^^l—р) и аналогично \—р). Следовательно,

Отсюда среднее квадратическое отклонение

И так, случайная величина U = (u' — М(и'))/о(и') (см. формулу (*)) нормирована и поэтому М (U) — Оно (U) — 1.