§ 1. Теорема сложения вероятностей совместных событий

Была рассмотрена теорема сложения для несов­местных событий. Здесь будет изложена теорема сложения для совместных событий.

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример 1. А — появление четырех очков при бросании играль­ной кости; В — появление четного числа очков. События А и В — совместные.

Пусть события А и В совместны, причем даны веро­ятности этих событий и вероятность их .совместного по­явления. Как найти вероятность события А + В, состоя­щего в том, что гюявится хотя бы одно из событий А и 5? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероят­ностей совместных событий.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р (A -f В) = Р (А) + Р (В) — Р (АВ).

Доказательство. Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие A -f- В наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий:

АВ, АВ или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий,

( (*)

Событие А произойдет, если наступит одно из двух

несовместных событий: АВ или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем

Р{А)=Р(А~В) + Р(АВ). Отсюда

Р{АВ) = Р(А) — Р(АВ). (**)

Аналогично имеем

Р(В) = Р(АВ) + Р(АВ). Отсюда

Р(АВ) = Р(В) — Р(АВ). (***)

Подставив (**) и (***) в (*), окончательно получим

ЩА + В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ). (****)

Замечание\1. При использовании полученной формулы сле­дует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми. \

Для независимых событий

Р (А + S)W (Л) + Р (В) - Р (А) Р (В); Для зависимых событий \

Р (А + В) = Р(Л) + Р(В)-Р (А) Р_А (В).

Замечание 2. Если события А к В несовместны, то их сов­мещение есть невозможное событие и, следовательно, Р(АВ)=0. Формула (****) для несовместных событий принимает вид

Мы вновь получили теорему сложения для несовместных собы­тий. Таким образом, формула (*>=■!■*) справедлива как для совмест­ных, так и для несовместных событий.

Пример 2. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: Pi = 0,7; р_г — 0,8. Найти

49

вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому собы­тия А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы.

Вероятность события АВ (оба орудия дали попадание)

Р (АВ)=Р (А) Р (В) = 0,7-0,8 = 0,56. Искомая вероятность Р {А + В) = Р (А) + Р (В) — Р (АВ) = 0,7 + 0,8 — 0,56 = 0,94.

Замечание 3. Так как в настоящем примере события А и В независимые, то можно было воспользоваться формулой Р=1 — — QiQz (см. гл. III, § 5). В самом деле, вероятности событий, про­тивоположных событиям А и В, т. е. вероятности промахов, таковы:

9! = 1—Pi= 1—0,7 = 0,3; <?₂=1— р_г=\— 0,8 = 0,2.

Искомая вероятность того, что при одном залпе хотя бы одно орудие даст попадание, равна

Р = 1—^(72=1—0,3-0.2 = 0,94. Как и следовало ожидать, получен тот же результат.