Дві основні задачі кореляційно-регресійного аналізу

1. Основна задача регресійного аналізу – встановлення форми зв’язку та вивчення залежності між змінними.

1. Основна задача кореляційного аналізу – виявлення зв’язку між випадковими змінними та оцінка його тісноти.

2. Парна лінійна регресія

У випадку парної лінійної форми зв’язку рівняння регресії матиме вигляд:

,

або

,

де

– теоретичне (розрахункове) значення результативної ознаки;

– значення факторної ознаки;

умовний початок відліку, має тільки теоретичне значення;

коефіцієнт регресії по .

Коефіцієнт регресії дає економічну інтерпретацію рівняння парної лінійної регресії, показуючи середню зміну результативної ознаки при зміні факторної ознаки на одну одиницю.

Якщо , то зв’язок прямий, якщо , то зв’язок обернений, якщо , то зв’язок відсутній.

3. Оцінка параметрів парної лінійної регресії

Розглянемо модель парної лінійної регресії. Припустимо, що маємо результати пар незалежних спостережень, що задані у вигляді сукупності точок у прямокутній системі координат.

Розглянемо гіпотезу, що між показником і фактором існує стохастична залежність.

Мета задачі: знайти зглажувальну лінію (лінію регресії), яка найкращим чином проходить через задану сукупність точок.

Методом розв’язання даної задачі є метод найменших квадратів (МНК), основоположником якого є Гаусс і Лаплас. Розглянемо суть методу.

Нехай рівняння регресії має вид

,

де невідомі параметри регресії, випадкова змінна, що має нормальний закон розподілу з числовими характеристиками , яка характеризує відхилення заданих точок від теоретичної лінії регресії .

Дійсні значення параметрів обчислити неможливо, оскільки маємо обмежене число спостереженню. Тому можливо знайти лише їх статистичні оцінки . Тоді рівняння парної лінійної регресії буде оцінкою моделі .

Розглянемо їх різницю:

де

фактичні (спостережувані) значення показника;

теоретичні (розрахункові) значення показника;

відхилення точних значень від наближених значень.

Метод найменших квадратів (1 МНК) полягає в підборі таких оцінок параметрів регресії для яких сума квадратів відхилень спостережуваних фактичних значень показника від теоретичних регресійних буде мінімальною, тобто щоб теоретична лінія регресії проходила б максимально близько до фактичних даних

Необхідною умовою існування екстремуму функції двох змінних є рівність нулю її частинних необхідних.

Отже, маємо

–система нормальних рівнянь

Ми одержали систему лінійних рівнянь відносно невідомих параметрів , розв’язавши яку, наприклад, за формулами Крамера, можна знайти їх значення.

Таким чином, для рівняння маємо оцінки :

Виконавши нескладні перетворення одержимо інші формули для визначення параметрів

де

; ; ;

,

Кореляційний момент (коваріація) це статистична характеристика системи випадкових величин, що описує не лише зв’язок між ними, а й їх розсіювання.

Лінія регресії обов’язково проходить через точку середніх значень