7.Теоремы двойственности.
Теоремы двойственности устанавливают связь между оптимальными планами взаимно двойственных задач.
Теорема 1.
Если одна из двойственных задач имеет конечный оптимум, то другая также имеет конечный оптимум, причем экстремальные значения целевых функций совпадают:
Т.е.: прибыль предприятия П1 от реализации продукции при оптимальном плане равна оптимальным затратам на приобретение ресурсов предприятием П2.
Если целевая функция одной из двойственных задач не ограничена, то условия другой задачи противоречивы.
Т еорема 2 (о дополняющей нежесткости).
Д ля того чтобы план и план являлись оптимальными решениями, соответственно, задач (1) и (2), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения:
Т.е., если компонент оптимального плана больше нуля, то при подстановке в соответствующее ограничение двойственной задачи оптимального плана это ограничение обращается в верное равенство, и наоборот.
Экономическая интерпретация Теоремы 2.
1
)Ресурс
i-го вида имеет
ненулевую цену (yi),
если полностью расходуется
в процессе производства (является
дефицитным):
=>
2
)Продукция
j-го вида (xj)
производится, если стоимость
затраченных на её
производство ресурсов
по оптимальным ценам равна
прибыли (cj)
от её реализации:
= >
7.Свойства двойственных оценок
Свойство 1. Оценки как мера дефицитности ресурсов.
Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность факторов производства.
Чем выше величина оценки , тем выше дефицитность i-го ресурса.
- Факторы, получившие нулевые оценки, не являются дефицитными и не ограничивают производство.
- Нулевую оценку получили все ресурсы, кроме муки (1-й ресурс) и сахара (4-й ресурс).
- Значит, все ресурсы, кроме Муки и Сахара, не являются дефицитным, т.е., не ограничивают производство.
- Напротив, 1-й (мука) и 4-й (сахар) ресурсы являются дефицитными, причем, ограничивают производство в разной степени ( y*1 = 46.6; y*4 = 43.3).
Последнее утверждение легко подтвердить, подставив в ограничения исходной задачи:
Видно, что при реализации оптимального плана только 1-й и 4-й ресурсы расходуются полностью.
Свойство 2. Оценки как мера влияния ограничений на значение целевой функции.
Двойственная оценка ресурса (Теневая цена) показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции (прибыли) при увеличении объёма данного ресурса на единицу. Теневая цена - это стоимость единицы ресурса в оптимальном решении:
- определяет оценку чувствительности оптимума к изменению правых частей ограничений.
- если ресурсы избыточны, их приращение не вызовет изменение оптимального плана и оптимума => их теневая цена равна 0.
- является внутренней характеристикой ресурса в сложившейся производственной ситуации
- не отражает ценность данного ресурса во внешней среде, его рыночную цену.
Двойственные оценки позволяют измерить эффективность лишь незначительного изменения объема ресурсов (при больших изменениях будет новый оптимальный план).
Пример: Увеличение (уменьшение) 1-го ресурса (Мука) на 1 кг при выпечке печенья или бисквитов должно приводить к увеличению (уменьшению) максимальной прибыли на 46,7 руб., так как y*1 = 46.6 руб/кг муки. Увеличение (уменьшение) 4-го ресурса (Сахар) на 1 кг должно приводить к увеличению (уменьшению) максимальной прибыли на 43,3 руб., так как y*4 = 43.3 руб/кг сахара. Изменение 2-го ресурса не приводит к изменению прибыли (y*2=0). Поэтому при увеличении 1-го ресурса на 2кг, 2-го ресурса на 5 кг и 4-го ресурса на 4 кг выручка увеличится на:
2* y*1 +5* y*2 +4* y*4 =2 кг * 46.7 руб/кг + 5кг*0 руб/кг +4*43.3 руб/кг = =93.4руб.+216.5руб.= 309.9руб.
Свойство 3. Оценки как инструмент определения эффективности отдельных хозяйственных решений.
Можно определить:
1) выгодность выпуска новых изделий;
2) эффективность новых технологических способов производства;
Эффективным может считаться тот вариант производства, для которого сумма прибыли, недополученной из-за отвлечения дефицитных ресурсов, будет меньше прибыли получаемой.
Разница между этими величинами (Δj) вычисляется как:
Здесь:
-
выгодное производство
- невыгодное производство
Задача. Пусть предприятие планирует к выпуску новый вид изделий: кексы.
Для производства 1-го кг кексов необходимо затратить:
- 0.8 кг муки
- 0.3 кг сахара
- Прибыль от продажи 1 кг кексов - 100 руб.
Выгодно ли предприятию выпускать новую продукцию?
Решение:
Рассчитаем Δj:
Δj < 0, => производить кексы выгодно.
Свойство 4. Оценки как мера относительной заменяемости ресурсов с точки зрения конечного эффекта.
Отношение показывает:
- сколько единиц k-го ресурса может быть высвобождено при увеличении объема i-го ресурса на единицу, чтобы максимум целевой функции остался на прежнем уровне;
- сколько единиц k-го ресурса необходимо дополнительно ввести при уменьшении на единицу объема i-го ресурса, чтобы значение целевой функции не изменилось.
В
нашем примере двойственные оценки 1-го
и 4-го ресурсов
несколько отличаются =>
- при уменьшении Муки на 3 кг необходимо увеличить Сахар на 46.7/ 43.3 * 3 кг, чтобы общая получаемая прибыль осталась неизменной.
Свойство 5. Применение теорем двойственности позволяет по известному оптимальному решению одной из взаимно двойственных задач отыскать оптимальное решение другой задачи.