Разделим это уравнение на l и введем обозначения:

  = ;

где:   - собственная частота колебательного контура (при R=0),

- коэффициент затухания.

Получим уравнение изменения заряда на обкладках конденсатора:

+ 2 + q = 0 (17)

По такому же закону изменяется напряжение на обкладках конденсатора:

+ 2 + (18)

Уравнения (17) и (18) носят название дифференциальных уравнений затухающих колебаний.

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому, строго говоря, к ним неприменимо понятие периода или частоты.

Однако в случае малых затуханий (  >> ) можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последовательными максимумами ( или минимумами ) колеблющейся физической величины. Такие колебания называются квазигармоническими  .Решение уравнения (18) в этом случае имеет вид:

(19)

где:    =  -  частота свободных квазигармонических колебаний,

  - начальная фаза, - значение амплитуды в момент времени t = 0.

Период колебаний определяется формулой:

  (20)

      При R = 0 формула (20) переходит в формулу (15).

Из (16) видно, что амплитуда затухающих колебаний с течением времени убывает по  экспоненциальному закону:

A = e = e (21)

где n - число периодов, содержащихся в промежутке времени t . Графики функций (19) и (21) изображены на рис.6.

В качестве меры затухания колебаний на практике чаще применяют не коэффициент затухания , а связанн ый с ним  логарифмический декремент затухания   , который bопределяется как натуральный логарифм отношения двух амплитуд, разделенных во времени на один период

= (22)

Выразив и по формуле (21), можно получить соотношение

Логарифмический декремент - постоянная для данного контура величина.

Для характеристики колебательного контура пользуются также понятием  добротности Q , которая пропорциональна отношению энергии, запасенной в контуре в данный момент, к убыли этой энергии за один период колебаний

Q = и Q = (23)

Чем меньше затухание, тем больше добротность Q.

При условии = , т.е. при (24)

выражение (20) обращается в бесконечность. Сопротивление контура, соответствующее условию (24), называется  критическим R_кр.:

  R_кр.= 2   (25)

Начиная с этого значения R R_кр, процесс в контуре будет  апериодическим.

Описание установки

Схема установки приведена на рис.7. Магазин емкости Р5025,катушка индуктивности и магазин сопротивлений Р4830/1 образуют колебательный контур CLR . Возбуждение колебаний в контуре осуществляется с помощью мультивибратора МВ, собранного на двойном триоде 6Н8С, питание от источника ВУП-2М.

Рис.7

На экране осциллографа С1-55 наблюдают колебания напряжения во времени. Рекомендуются следующие положения управляющих рукояток осциллографа:

СИНХРОНИЗАЦИЯ – внешняя

УСИЛИТЕЛЬ У1 0,02 или 0,05 В/дел

РАЗВЕРТКА длительность 0,2 - 0,5 ms/дел

множитель развертки х 1

Положение рукоятки "длительность“ определяет цену большого деления горизонтальной оси экрана осциллографа t , положение рукоятки усилителя У1 указывает цену большого деления вертикальной оси напряжения.

При измерении периода колебаний центральная часть ручки "длительность" должна быть повернута по часовой стрелке до щелчка. Устойчивая картина на экране получается с помощью ручек "Стаб.", "Уровень". Счет числа колебаний необходимо начинать с максимума первого положительного полупериода, считая его нулевым.

Для определения критического сопротивления необходимо добиться картины, показанной на рис.8, причем участок DЕ должен быть плавным при минимальном сопротивлении магазина. Участок АВСD обусловлен возбуждающим импульсом и переходными процессами.

  ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Включите питание осциллографа и источника ВУП-2М. После прогревания на экране осциллографа должна появиться четкая картина затухающего импульса, положение которой можно менять с помощью ручек " " и " ".

ЗАДАНИЕ 1.  Определение периода и частоты колебаний.

а) Используя масштабную сетку экрана осциллографа (рис 9),рассчитать период и циклическую частоту по формулам:

Т = ;   ;

где: N  - число делений горизонтальной оси, соответствующее целому числу периодов n,

t - цена деления горизонтальной оси.

Для случая, изображенного на рис.9 N=6 n=4

б) По параметрам контура С, L и R рассчитайте период и циклическую частоту по формулам (20).Сравните значения Т и , полученные в пунктах а) и б).

ЗАДАНИЕ 2. Определение закона спадания амплитуды, определение   и  Q.

Измерьте последовательные амплитуды А ,А ,....,А ,не менее 6 амплитуд. Для уменьшения погрешности желательно их измерять в одном и том же месте экрана, перемещая кривую по горизонтали.

Экспоненциальный характер закона спадания амплитуды подтверждается тем, что зависимость ln А от n имеет линейный характер. Действительно, прологарифмировав (21), получим

ln A = ln Uo -  T n или y = ax + b ,

где b = ln Uo , a = - T = - , y = ln A , x = n .

Постройте график ln A = f (n) и убедитесь, что график-прямая линия.

Значение коэффициента а для этого графика a = tg = lnA / n

где:  - угол наклона прямой к горизонтальной оси x. Следовательно, логарифмический декремент ,равный коэффициенту a ,можно найти по графику ln A = f (n) .

Рассчитайте значение   по формуле (22) и сравните его со значением, полученным по графику.

Рассчитайте добротность контура Q по формуле (23).

ЗАДАНИЕ 3.  Изучение влияния емкости, индуктивности и сопротивления (качественно) на характеристики затухающих колебаний.

Для этой цели последовательно меняйте емкость магазина емкостей С, индуктивность L (катушка без сердечника, с сердечником), сопротивление R, возвращаясь к начальным параметрам. Пронаблюдайте, как изменяется при этом период (частота) колебаний и интенсивность затухания.

Зарисуйте наблюдаемые кривые и дайте объяснения различиям с позиции теории.

Меняя сопротивление контура, добейтесь перехода процесса от гармонического к апериодическому. Полученное значение R кр., равное сумме сопротивлений магазина и катушки, запишите. Сравните со значением, полученным по формуле (25).