Рассмотрим практическое применение изложенного материала.

Задача 1. На вопрос, кто из трех студентов изучал логику, был получен следующий ответ: если изучал первый, то изучал и второй, но неверно, что если изучал третий, то изучал логику и второй. Кто из студентов изучал логику?

Решение.

Обозначим через В₁, В₂, В₃ высказывания, состоящие в том, что соответственно первый, второй, третий студенты изучали логику. Из условия задачи следует истинность высказывания:

(В₁ → В₂) & ( )

Так как В₁ → В₂ = ₁ + В₂ и = В₃ & ₂, получаем следующее выражение:

( ₁ & В₂) (В_{3 2}) = _{1 2} В₃ & В_{2 2} В₃ = _{1 2} В₃

Из полученного выражения следует, что логику изучал третий студент.

Задача 2. Алеша, Боря и Гриша нашли в земле сосуд. Рассматривая находку, каждый высказал по два предложения:

Алеша: это сосуд греческий и изготовлен в 5-ом веке.

Боря: это сосуд финикийский и изготовлен в 3-ем веке.

Гриша: это сосуд не греческий и изготовлен в 4-ом веке.

Каждый из них оказался прав только в одном из предположений. Где и в каком веке изготовлен сосуд?

Решение.

Примем следующие обозначения:

G – сосуд греческий;

F – сосуд финикийский;

V₃ – сосуд изготовлен в 3-ем веке;

V₄ – сосуд изготовлен в 4-ом веке;

V₅ – сосуд изготовлен в 5-ом веке;

Формализуем условие задачи, используя приведенные выражения:

Высказывание Алеши G ₅ ˅ V₅ = 1.

Высказывание Бори F ₃ ˅ V₃ = 1.

Высказывание Гриши ₄ ˅ G V₄ =1 (так как каждый был прав только в одном предположении из двух)

Полученные высказывания логически перемножаем (так как высказывался Алеша, Боря и Гриша), результат должен быть равен 1, т.е.

(G ₅ ˅ V₅) (F ₃ ˅ V₃) ( ₄ ˅ G V₄)

Выполним умножение по действиям:

1. (G ₅ ˅ V₅) (F ₃ ˅ V₃) = G ₅ F ₃ ˅ G ₅ V₃ ˅ V₅ F ₃ ˅ V₅ V₃;

Конъюнкция G ₅ F ₃ = 0, т.к. не могут быть одновременно две страны.

Конъюнкция V₅ V₃ = 0, т.к. не могут быть одновременно 3-й и 5-й века.

В итоге получаем после умножения первых двух скобок: G ₅ V₃ ˅ V₅ F ₃

2. (G ₅ V₃ ˅ V₅ F ₃) ( ₄ + G V₄) = G ₅ V_{3 4} + V₅ F ₃ G V₄ +

+ V₅ F _{3 4} + G ₅ V₃ G V₄ = 1

Конъюнкции: G ₅ V_{3 4}, G ₅ V₃ G V₄, V₅ F ₃ G V₄ равны нулю.

В итоге получаем: V₅ F _{3 4} = F _{3 4} V₅ = 1, т.е. сосуд финикийский, изготовлен в 5-ом веке.

Если обратить внимание на то, что первое и второе высказывание можно записать используя операцию сложение по модулю 2, а третье высказывание – это эквиваленция, мы приходим к более простым формулам и преобразованиям:

(G ⊕ V₅) (F ⊕ V₃) (G ~ V₄) = (G ⊕ V₅) (F ⊕ V₃) ( ⊕ V₄) = 1

Упростим данное выражение:

(G ⊕ V₅) (F ⊕ V₃) = G F ⊕ G V₃ ⊕ F V₅ ⊕ V₅ V₃

Конъюнкции G F и V₅ V₃ равны нулю.

(G V₃ ⊕ F V₅) ( ⊕ V₄) = G V₃ ⊕ G V₃ V₄ ⊕ F V₅ ⊕ F V₅ V₄ = 1

Конъюнкции G V₃ , G V₃ V₄, F V₅ V₄ равны нулю, следовательно остается конъюнкция F V₅ , т.е. сосуд финикийский, 5-й век.