Доведення:

Позначимо множину розв’язків рівняння (І) через Т₁, а множину розв’язків рівняння (ІІ) через Т₂. Для доведення теореми потрібно показати, що множина Т₁=Т₂, тобто множини розв’язків обох рівнянь збігаються. Для цього слід показати, що Т₁Т₂ і Т₁Т₂, тобто, що кожен елемент множини Т₁ є елементом множини Т₂ і навпаки, кожен елемент множини Т₂ є елементом множини Т₁. Отже, доведення теореми буде складатися із двох частин. У першій частині доведемо, що кожен розв’язок рівняння (І) є розв’язком рівняння (ІІ), а в другій, - що кожен розв’язок рівняння (ІІ) з розв’язком рівняння (І).

Спочатку покажемо, що Т₁Т₂. Нехай х₀єТ₁ - корінь рівняння (І). Тоді, підставивши х₀ у рівняння (І), перетворимо його в істинну числову рівність f(х₀)=g(х₀). Оскільки вираз φ(х) визначений при всіх хєТ₁Х, то, підставивши х₀ у цей вираз, отримаємо числовий вираз φ(х₀), тобто число. Додавши до обох частин істинної числової рівності f(х₀)=g(х₀) число φ(х₀), одержимо істинну числову рівність f(х₀)+φ(х₀)=g(х₀)+φ(х₀), яка свідчить про те, що число х₀ є коренем рівняння (ІІ) f(х)+φ(х)=g(х)+φ(х). Оскільки значення х₀ ми вибирали в множині Т₁ довільно, то наші міркування можна повторити для будь-якого хєТ₁. Отже, кожен корінь рівняння (І) є коренем рівняння (ІІ), тобто Т₁Т₂. Таким чином, ми показали, що будь-який корінь рівняння (І) є коренем рівняння (ІІ). Першу частину теореми доведено.

Нехай тепер у₀ - корінь рівняння (ІІ). Підставивши його у рівняння (ІІ), отримаємо істинну числову рівність f(у₀)+φ(у₀)=g(у₀)+φ(у₀). Оскільки вираз φ(х) визначений при всіх уєТ₂Х, то φ(у₀) – це число, а тому на основі властивостей істинних числових рівностей рівність f(у₀)=g(у₀) також істинна. Цю рівність можна одержати із рівняння (І), якщо замість х підставити у₀. Отже, у₀ є коренем рівняння (І). Значення у₀ в множині Т₂ ми вибирали довільно, а тому наші міркування можна повторити відносно будь-якого елемента множини Т₂. Це дає підстави для висновку про те, що Т₂Т₁, тобто кожен корінь рівняння (ІІ) є коренем рівняння (І). Другу частину теореми доведено. У першій частині ми довели, що Т₁Т₂, а в другій, - що Т₂Т₁. Тоді на основі означення рівності множин можна твердити, що Т₁=Т₂. Таким чином, рівняння рівносильні, а теорему доведено повністю.

Із доведеної теореми випливають наступні наслідки.

Наслідок 1: будь-яке рівняння виду f(х)=g(х) рівносильне рівнянню виду F(x)=0.

Наслідок 2: будь-який член рівняння можна переносити із однієї частини рівняння в другу, міняючи при цьому його знак на протилежний.

Теорема 2: Якщо вираз φ(х) визначений і не перетворюється в нуль для всіх хєХ, то рівняння f(х)=g(х) (І) і f(х)●φ(х)=g(х)●φ(х) (ІІІ) рівносильні.

Доведення теореми проводиться аналогічно попередньої, а тому пропонуємо студентам зробити це самостійно, виконавши завдання для самостійної роботи. На основі теореми 2 можна звільнюватися від знаменників у рівняннях, не порушуючи при цьому рівносильності рівнянь. Наприклад, розв’язуючи рівняння , областю визначення якого є множина чисел (-∞;-3)(-3;3)(3;+∞), можна обидві частини рівняння помножити на вираз 9-х², який не втрачає смислу при всіх хє(-∞;-3)(-3;3)(3;+∞). Тоді отримаємо рівняння рівносильне даному 6(3-х)+(х+3)²-х²=0.

У шкільному курсі математики розглядаються лінійні і нелінійні рівняння. Лінійним рівнянням прийнято називати рівняння виду ax+b=cx+d, де x - змінна, а a, b, c, d - дійсні числа. Використовуючи теореми про рівносильність рівнянь, можна вказане рівняння звести до вигляду mx=n. Розглянемо розв’язування такого рівняння в загальному випадку. Нехай m≠0, тоді рівняння має єдиний розв’язок x=n/m. Графічно це означає, що прямі у=mx і у=n перетинаються в одній точці, координати якої і будуть коренем рівняння mx=n. Якщо m=0, а n≠0, то рівняння 0x=n розв’язків немає, бо ділити на нуль не можна. Графічно це буде означати, що прямі у=0х і у=n не перетинатимуться, тобто паралельні. Нехай тепер m=n=0, тоді рівняння буде мати вигляд 0х=0, а тому матиме безліч розв’язків. Графічно це означатиме, що прямі у=0х і у=0 співпадають. Існують способи розв’язання квадратних, кубічних рівнянь та рівнянь четвертого степеня в радикалах, тобто є формули для розв’язання цих рівнянь. Разом з тим доведено, що розв’язати в радикалах рівняння вище ніж четвертого степеня неможливо.

При розв’язуванні рівнянь, які не є лінійними, застосовують метод розкладу на множники. Припустимо, що вирази мають значення при всіх хєХ. Тоді число аєХ може бути коренем рівняння тоді і тільки тоді, коли хоча б один із виразів перетворюється в нуль при х=а. Це означає, що рівняння рівносильне диз’юнкції рівнянь f₁(х)=0f₂(х)=0f₃(х)=0...f_n(х)=0. Наприклад рівняння (х-1)(х+3)=0 рівносильне диз’юнкції рівнянь (х-1)=0(х+3)=0, а тому множиною його розв’язків є {1; 3}.

У різних означеннях поняття рівняння воно трактується і як символічний запис задач, і як відшукання таких систем значень змінних виразів і , при яких значення виразів і рівні. У шкільному курсі математики означення окремих видів рівнянь вводяться у зв’язку із введенням відповідних функцій. Отже, рівняння класифікують за видом функцій, які представляють ліву і праву частини рівнянь. При такій класифікації виділяють наступні типи рівнянь:

1) алгебраїчні рівняння, якими називаються рівняння виду , в яких і - алгебраїчні функції;

2) трансценденті рівняння, якими називають рівняння , якщо хоча б одна із функцій чи трансцендентна;

3) раціональні алгебраїчні (чи просто алгебраїчним) рівняння, якими називають рівняння , якщо алгебраїчні функції і – раціональні;

4) ірраціональні алгебраїчні (чи просто ірраціональні) рівняння, якими називають рівняння , якщо хоча б одна із алгебраїчних функцій чи - ірраціональна;

5) цілі раціональні рівняння, якими називають рівняння , якщо функції і цілі раціональні;

6) дробово-раціональні рівняння, якими називають рівняння , якщо хоча б одна із раціональних функцій чи - дробово-раціональна;

7) рівняння , де - многочлен стандартного вигляду, називається лінійним, квадратним, кубічним тощо взагалі n-того степеня, якщо многочлен є відповідно многочленом першого, другого, третього тощо n-того степеня. Отже, поняття степеня рівняння визначене лише для рівнянь вказаного виду .

У шкільному курсі математики немає необхідності вимагати запам’ятовування цих означень, а основне завдання вчителя полягає в тому, щоб навчити учнів розв’язувати рівняння цих типів. Роль рівнянь в шкільному курсі математики визначається, по-перше, тим, що за допомогою рівнянь на символічній мові записуються найважливіші задачі, пов’язані з пізнанням реальної дійсності; по-друге, тим, що при вивченні будь-якої теми рівняння можуть бути використані як ефективний засіб закріплення, поглиблення, повторення та розширення теоретичних знань, розвитку творчої математичної діяльності учнів; по-третє, графічне розв’язування рівнянь розкриває значення методів аналітичної геометрії, відіграє велику роль в розвитку просторової уяви школярів; по-четверте, розв’язування задач із різноманітних розділів математики за допомогою рівнянь формує уявлення про єдину математику і відносний характер її розчленування на алгебру, геометрію, аналіз; по-п’яте, розв’язування задач, пов’язаних з основами сучасного виробництва, економікою народного господарства, із суміжними дисциплінами може слугувати одним із ефективних засобів здійснення принципу політехнічного навчання та зв’язку викладання математики із життям, підготовки учнів до свідомого вибору професії.

У першому класі буква як символ для позначення невідомого числа використовується при розв’язуванні задач. При вивченні дій над числами першого десятку вивчається правило знаходження невідомого доданка за сумою і відомим доданком, після чого розв’язуються задачі, які приводять до рівнянь виду , , а самі рівняння розв’язуються за вказаним правилом. Учні, які закінчують початкову школу, повинні вільно розв’язувати рівняння виду: ; ; ; ; тощо. В початковій школі рівняння розв’язуються не шляхом переходу до рівносильних рівнянь, а на основі знань зв’язку між результатом і компонентами арифметичних дій, причому рівняння визначають як істинну рівність, в яку входить невідоме число. Покажемо це на прикладі наступного рівняння.

Вправа: розв’язати рівняння на основі залежності між результатом і компонентами арифметичних дій: .