Глава 10 Кинематика точки

Для решения задач кинематики точки (тела) нужно прежде всего знать закон движения этой точки (тела), т.е. положение точки (тела) относительно некоторой системы отсчета в любой момент заданного диапазона времени.

Движение точки может быть задано векторным, координатным или естественным способом.

При векторном способе задания движения положение точки в пространстве в любой момент времени задается с помощью вектор-функции

, (10.1)

где – проведенный из начала координат O в данную точку M радиус-вектор, величина и направление которого с течением времени изменяются по величине и направлению, т. е. зависят от аргумента t.

Вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиус-вектора точки по времени:

. (10.2)

Направлен вектор по касательной к траектории точки в сторону ее движения.

Вектор ускорения точки равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени:

(10.3)

Вектор ускорения лежит в плоскости, соприкасаю­щейся с кривой в данной точке М, и направлен в сторону вогнутости кривой. Для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью этой кривой и является общей для всех ее точек.

Уравнения движения точки при координатном способе задания движения представляют собой зависимости коор­динат этой точки от времени:

(10.4)

В этом случае проекции векторов скорости и ускорения точки на координатные оси определяются по формулам

(10.5)

(10.6)

Модули векторов и :

; (10.7)

; (10.8)

Естественным способом задания движения пользуются в том случае, когда траектория движущейся точки известна заранее. Тогда задаются началом отсчета О на траектории, положительным и отрицательным направлением отсчета и законом движения точки вдоль траектории:

(10.9)

где s - дуговая координата точки, равная расстоянию от точки О до точки М, измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. Отметим, что коор­дината s в общем случае не равна перемещению точки за время t, так как точка за этот промежуток времени могла двигаться сначала в одном направлении, а затем - в обрат­ном, поэтому пройденный ею путь равен сумме перемеще­ний в обоих направлениях, а координата s - разности этих перемещений.

Для вычисления скорости и ускорения точки M при естественном способе задания ее движения используют формулы

(10.10)

, (10.11)

где s — дуговая координата точки, заданная как функция времени; ρ - радиус кривизны траектории; и - нор­мальное и тангенциальное (касательное) ускорения, кото­рые также можно определить по формулам

; (10.12)

. (10.13)

Если точка движется в плоскости, то в соответствии с ними формулами имеем

; (10.14)

. (10.15)

Если > 0, то скорость направлена в сторону положительного отсчета координаты s. Направление касательного ускорения зависит от знака проекции .

Криволинейное движение точки называется равномер­ным, если числовое значение скорости все время остается постоянным. При этом и полное ускорение точки равно одному только нормальному ускорению .

Закон равномерного криволинейного движения имеет вид

s = s₀ + vt. (10.16)

Если касательное ускорение все время остается посто­янным ( const), то такое движение называется равнопеременным. Если при этом > 0, то модуль скоро­сти возрастает и движение называется равноускоренным, а если < 0, то модуль скорости убывает и движение назы­вается равнозамедленным.

Закон равнопеременного криволинейного движения

, (10.17)

скорость такого движения

. (10.18)

Формулы (10.16), (10.17) и (10.18) соответствуют также законам равномерного или равнопеременного прямолиней­ного движения точки, если считать s= х и = а (а - уско­рение точки).