4.3. Проверка адекватности регрессионной модели эксперименту

Процедура проверки адекватности регрессионной модели эксперименту сводится к выполнению ряда последовательных вычислений:

1. Расчет теоретических значений функции отклика в каждом опыте по уравнению (23).

2. Сопоставление расчетных и экспериментальных значений функции отклика и нахождение дисперсии неадекватности.

3. Расчет критерия Фишера и окончательный вывод на основании сопоставления его расчетного и табличного значений об адекватности или неадекватности регрессионной модели эксперименту.

Используя уравнение (23), определим расчетные значения функции отклика в каждом из восьми опытов (u – номер опыта). Все значения Х_i в данное уравнение входят в кодовом масштабе (табл. 6):

в 1-м опыте: х₁ = -1, х₂ = -1, х₃ = -1, х₄ = +1, Х₅ = +1, Х₆ = +1, х₇ = -1;

во 2-м опыте: х₁ = +1, х₂ = -1, х₃ = -1, х₄ = -1, Х₅ = -1, Х₆ = +1, х₇ = +1;

в 3-м опыте: х₁ = -1, х₂ = +1, х₃ = -1, х₄ = -1, Х₅ = +1, Х₆ = -1, х₇ = +1;

в 4-м опыте: х₁ = +1, х₂ = +1, х₃ = -1, х₄ = +1, Х₅ = -1, Х₆ = -1, х₇ = -1;

в 5-м опыте: х₁ = -1, х₂ = -1, х₃ = +1, х₄ = +1, Х₅ = -1, Х₆ = -1, х₇ = +1;

в 6-м опыте: х₁ = +1, х₂ = -1, х₃ = +1, х₄ = -1, Х₅ = +1, Х₆ = -1, х₇ = -1;

в 7-м опыте: х₁ = -1, х₂ = +1, х₃ = +1, х₄ = -1, Х₅ = -1, Х₆ = +1, х₇ = -1;

в 8-м опыте: х₁ = +1, х₂ = +1, х₃ = +1, х₄ = +1, Х₅ = +1, Х₆ = +1, х₇ = +1.

С учетом знаков Х_i расчетные значения функции отклика (удельной потери массы) будут равны, г/см²:

в 1-м опыте:

во 2-м опыте:

в 3-м опыте:

в 4-м опыте:

в 5-м опыте:

в 6-м опыте:

в 7-м опыте:

в 8-м опыте:

Полученные расчетные значения функции отклика необходимы для определения дисперсии неадекватности (табл. 8).

При равномерном дублировании опытов дисперсия неадекватности определяется по зависимости:

; , (24)

где и – значения функции отклика в u-м опыте, соответственно рассчитанные по уравнению регрессии (23) и определенные экспериментально;

f₁ – число степеней свободы;

– число оставленных коэффициентов в уравнении регрессии, включая b₀;

N – число опытов плана (N = 8).

В рассматриваемом примере : регрессионное уравнение (23) содержит 7 коэффициентов. Тогда f₁ = 8  7 = 1;

Таким образом, если из регрессионного уравнения исключен хотя бы один статистически незначимый коэффициент (а это неизбежно, если варьируемые факторы действительно являются независимыми переменными), массив разностей будет содержать информацию об ошибках в предсказании значений функции отклика.

Таблица 8

Пример оформления результатов расчета дисперсии неадекватности

Номер опыта, u					f1
1	0,383	0,387	0,005	2510-6	1	210-4
2	0,281	0,276	0,005	2510-6
3	0,232	0,237	0,005	2510-6
4	0,297	0,292	0,005	2510-6
5	0,078	0,083	0,005	2510-6
6	0,131	0,126	0,005	2510-6
7	0,059	0,064	0,005	2510-6
8	0,084	0,079	0,005	2510-6
Сумма	-	-	-	210-4

Гипотеза об адекватности регрессионного уравнения (23) эксперименту проверяется по критерию Фишера. Расчетное значение критерия Фишера находится из соотношения:

. (25)

В рассматриваемом примере (см. табл. 8), (см. раздел 3). Тогда .

Из соотношения (25) следует, что расчетное значение критерия Фишера представляет собой отношение дисперсии неадекватности к дисперсии опыта. По сути дела он позволяет ответить на вопрос: во сколько раз модель предсказывает значения функции отклика хуже по сравнению с опытом? Тогда табличное значение критерия Фишера должно регламентировать допустимое отклонение расчетных значений функции отклика относительно опытных данных.

Табличное значение критерия Фишера определяется в зависимости от уровня значимости  и числа степеней свободы f₁ и f₂, определенных ранее: f₁ = 1, f₂ = 48. При уровне значимости  = 0,05 и степенях свободы f₁ = 1 и f₂ = 48 табличное значение F - критерия равно (табл. Б4, приложение Б).

Модель считается адекватной, если выполняется условие:

F^расч < F^табл. (26)

Поскольку условие (26) выполняется (F^расч = 2,617 < F^табл = 4,04), гипотеза об адекватности регрессионного уравнения (23) эксперименту при 5 % - м уровне значимости (при уровне надежности 95 %) не отвергается.

Если эксперимент поставлен с очень высокой методической точностью, его дисперсия мала, и проверка адекватности математической модели эксперименту по критерию Фишера может дать отрицательный результат. Причем отрицательный результат получается не из-за неудовлетворительного совпадения значений функции отклика, рассчитанных по регрессионному уравнению и определенных экспериментально, а из-за малости дисперсии эксперимента , которая находится в знаменателе выражения (25). Поэтому наряду с критерием Фишера для оценки адекватности регрессионного уравнения эксперименту используют вариацию аппроксимации. Вариация аппроксимации не зависит от дисперсии эксперимента, а определяется исключительно величиной дисперсии неадекватности:

(27)

где – среднее значение функции отклика по всем опытам.

Если вариация аппроксимации не превышает 10 %, регрессионное уравнение признается адекватным эксперименту независимо от величины расчетного критерия Фишера. Если вариация аппроксимации превышает 10 %, построенное регрессионное уравнение неадекватно описывает эксперимент.

В рассматриваемом примере

Тогда

Поскольку вариация аппроксимации не превышает 10 %, регрессионное уравнение (23) следует признать адекватным эксперименту.

Для использования уравнения (23) в целях прогнозирования интенсивности изнашивания тормозных колодок в зависимости от их химического состава произведем следующие замены переменных:

(28)

где X₁, X₂, X₃ – кодированные значения факторов, которые могут изменяться от -1 до +1 (факторами являются концентрации алюминия, марганца и углерода в чугуне);

х₁, х₂, х₃ – соответственно концентрации алюминия, марганца и углерода в чугуне, выраженные в процентах: х₁ = 2,5 - 3,5 % (Al), х₂ = 9 - 12 % (Mn), х₃ = 3,2 - 3,8 % (C);

х₁₀, х₂₀, х₃₀ – основной уровень, относительно которого производится варьирование концентрации легирующих элементов: х₁₀ = 3,0 % (Al), х₂₀ = 10,5 % (Mn), х₃₀ = 3,5 % (C);

х₁, х₂, х₃ – интервал варьирования концентрации легирующих элементов: х₁ = 0,5 % (Al), х₂ = 1,5 % (Mn), х₃ = 0,3 % (С).

С учетом подстановок (28) и обозначений, принятых в табл. 6, регрессионное уравнение (23) принимает следующий вид:

Если расчеты производятся с использованием ПЭВМ, регрессионное уравнение более удобно представить в обобщенном виде (18). При этом рассчитанные ранее значения коэффициентов b₀…b₇ хранятся в памяти машины в виде матрицы; значения статистически незначимых коэффициентов обнуляются. После подстановок (28) с учетом обозначений, принятых в табл. 6, регрессионное уравнение (18) запишется следующим образом: