2. Расчет дисперсии и относительной ошибки эксперимента

Основной целью настоящего раздела является определение дисперсии и относительной ошибки эксперимента. Для их нахождения необходимо провести ряд промежуточных расчетов:

1) рассчитать построчные дисперсии;

2) найти абсолютные и относительные ошибки измерений функции отклика в каждом опыте;

3) определить доверительные интервалы для средних значений функции отклика в каждом опыте;

4) оценить статистическую значимость полученных значений построчных дисперсий, а также абсолютных и относительных ошибок измерений функции отклика;

5) оценить воспроизводимость опытных данных по критерию Кохрена.

Построчная дисперсия в каждом опыте определяется по формуле:

(1)

(2)

где g и n_u – соответственно номер дубля и количество дублей в u-м опыте;

– значение функции отклика в g-м дубле u-го опыта;

– среднее значение функции отклика в u - м опыте;

– число степеней свободы в u - м опыте при определении u - й построчной дисперсии .

Число степеней свободы – понятие, учитывающее в статистических ситуациях связи, ограничивающие свободу изменения случайных величин. Это число определяется как разность между количеством выполненных опытов и количеством констант, подсчитанных по результатам тех же опытов.

В рассматриваемом примере n_u = 7, f_u = 7  1 = 6 (в каждом опыте по результатам 7 дублей определяется 1 константа – построчная дисперсия). Тогда выражение (1) можно переписать следующим образом:

(3)

Построчная дисперсия по выражению (3) рассчитывается для каждого u - го опыта.

Абсолютная ошибка измерений в u - м опыте определяется из выражения:

, (4)

относительная ошибка (далее по тексту – вариация) измерений – из выражения:

(5)

Результаты расчетов построчных дисперсий, абсолютных ошибок и вариаций измерений для исходных данных, взятых из табл. 3, приведены в табл. 4.

Таблица 4

Пример оформления результатов расчетов построчных дисперсий, абсолютных ошибок и вариаций измерений

Номер опыта, u	Номер дубля, g	Значения функции отклика по дублям, г/см2	Средние значения функции отклика в опытах, г/см2	Построчная дисперсия,		, %
1	1	0,37	0,383	1,05310-4	0,01	2,682
	2	0,384
	3	0,381
	4	0,391
	5	0,374
	6	0,4
	7	0,378
2	1	0,282	0,281	8,12910-5	9,01610-3	3,213
	2	0,294
	3	0,28
	4	0,275
	5	0,286
	6	0,265
	7	0,282
3	1	0,229	0,232	1,0810-4	0,01	4,47
	2	0,23
	3	0,243
	4	0,22
	5	0,223
	6	0,233
	7	0,249

Продолжение табл. 4

Номер опыта, u	Номер дубля, g	Значения функции отклика по дублям, г/см2	Средние значения функции отклика в опытах, г/см2	Построчная дисперсия,		, %
4	1	0,29	0,297	1,57210-4	0,013	4,226
	2	0,3
	3	0,28
	4	0,287
	5	0,315
	6	0,31
	7	0,295
5	1	0,082	0,078	2,76710-5	5,2610-3	6,743
	2	0,08
	3	0,07
	4	0,077
	5	0,084
	6	0,072
	7	0,081
6	1	0,12	0,131	4,72410-5	6,87310-3	5,258
	2	0,14
	3	0,13
	4	0,125
	5	0,135
	6	0,129
	7	0,136
7	1	0,061	0,059	2,72910-5	5,22410-3	8,79
	2	0,066
	3	0,054
	4	0,052
	5	0,057
	6	0,062
	7	0,064
8	1	0,079	0,084	3,5910-5	5,99210-3	7,158
	2	0,08
	3	0,087
	4	0,09
	5	0,091
	6	0,084
	7	0,075
Сумма	-	-	-	5,89910-4	-	-

Приведем пример расчета построчной дисперсии, абсолютной ошибки и вариации измерений в первом опыте (u = 1).

Построчная дисперсия:

Абсолютная ошибка измерений:

Вариация измерений:

Построчные дисперсии, абсолютные ошибки и вариации измерений определены по выборкам ограниченного объема (в рассматриваемом примере каждый опыт дублировался 7 раз). Поэтому неизбежно возникает вопрос о том, с какой надежностью вычислены их значения или, что то же самое, какова их статистическая значимость.

Для оценки статистической значимости построчных дисперсий, абсолютных ошибок и вариаций измерений следует рассчитать доверительные интервалы для соответствующих средних значений функции отклика (табл. 4). Доверительным интервалом для измеряемого параметра У_u (в рассматриваемом примере измеряемым параметром – функцией отклика – является интенсивность изнашивания чугунных тормозных колодок различного химического состава) называется такой интервал, относительно которого с заранее выбранной вероятностью Р = 1  , близкой к единице, можно утверждать, что он содержит неизвестное значение параметра У_u. Математически это условие записывается следующим образом:

Чем уже для выбранной вероятности доверительный интервал, тем точнее оценка измеряемого параметра У_u. И, наоборот, если ширина доверительного интервала велика, то оценка, проведенная с помощью данного интервала, малопригодна для практического использования. Так как концы доверительного интервала зависят от элементов выборки, то значения и могут изменяться от выборки к выборке.

Вероятность Р = 1   принято называть доверительной вероятностью (или надежностью), а параметр  – уровнем значимости. Выбор доверительной вероятности или уровня значимости не является математической задачей, а определяется спецификой решаемой проблемы и требованиями к надежности измерений. Наиболее часто задают надежность р, равную 0,95; 0,97; 0,99. Данному уровню надежности соответствуют уровни значимости , равные соответственно 0,05; 0,03; 0,01. В инженерных задачах и задачах прикладного материаловедения наиболее часто используют уровень значимости  = 0,05.

Для расчета ширины доверительного интервала используют соотношение:

(6)

где t₁ – критерий Стьюдента для определения ширины доверительного интервала;

– абсолютная ошибка измерения функции отклика в u-м опыте (см. табл. 4);

n_u – количество дублей в опытах (в рассматриваемом примере n_u = 7).

Значения критерия Стьюдента t₁ табулированы (см. Приложение Б, табл. Б1). Для n_u = 7 и уровня значимости  = 0,05 t₁ = 2,45.

С учетом равенства (6) доверительный интервал для средних значений функции отклика задается выражением:

. (7)

Величину называют скорректированной ошибкой измерений. Значения построчных дисперсий, абсолютных ошибок и вариаций измерений считаются статистически значимыми, если в каждом опыте скорректированная ошибка измерений меньше абсолютной ошибки измерений :

. (8)

В рассматриваемом примере все значения построчных дисперсий, абсолютных ошибок и вариаций измерений являются статистически значимыми, поскольку в каждом опыте выполняется условие (8) (табл. 5). Если условие (8) не выполняется, необходимо увеличить количество дублей n_u. При этом следует помнить, что количество дублей должно быть одинаковым во всех опытах. Если количество дублей по тем или иным причинам не может быть увеличено и , в качестве абсолютной ошибки измерений принимают скорректированную ошибку измерений , а в качестве построчной дисперсии – величину, равную . В материаловедческих исследованиях количество дублей в опытах обычно выбирают таким образом, чтобы выполнялось условие (8).

Таблица 5

Пример оформления результатов оценки статистической значимости построчных дисперсий, абсолютных ошибок и вариаций измерений

Номер опыта, u	(табл. 4)	nu	t1 (Приложение Б, таблица Б1;  = 0,05)	(табл. 4)		Доверительный интервал
1	0,383	7	2,45	0,01	9,50210-3	(0,373; 0,392)
2	0,281			9,01610-3	8,34910-3	(0,272; 0,289)
3	0,232			0,01	9,62110-3	(0,223; 0,242)
4	0,297			0,013	0,012	(0,285; 0,308)
5	0,078			5,2610-3	4,87110-3	(0,073; 0,083)
6	0,131			6,87310-3	6,36410-3	(0,124; 0,137)
7	0,059			5,22410-3	4,83710-3	(0,055; 0,064)
8	0,084			5,99210-3	5,54910-3	(0,078; 0,089)

После оценки статистической значимости построчных дисперсий, абсолютных ошибок и вариаций измерений производят проверку воспроизводимости экспериментальных данных. Проверка выполняется в том случае, если имеет место дублирование опытов, что является обязательным правилом при проведении планированного эксперимента. На этой стадии проверяется гипотеза о постоянстве дисперсии шума с использованием критерия Кохрена. Проверка данной гипотезы позволяет судить об однородности или неоднородности ряда дисперсий. Если ряд дисперсий однороден, различные значения функции отклика определены с одинаковой точностью. Если ряд дисперсий неоднороден, различные значения функции отклика определены с разной точностью.

Процедура проверки статистических гипотез в общем случае формально предусматривает сравнение некоторого критерия, рассчитанного по экспериментальным данным, с его табличным значением при выбранном заранее уровне значимости . Уровень значимости  определяет наибольшую вероятность отвергнуть правильную гипотезу, т. е. наибольшую вероятность предположения о том, что экспериментальный результат ошибочен. Например, если уровень значимости выбирают равным 0,05 (что, очень часто делается в технических задачах), то это означает, что допускается 5 % - я вероятность неверного решения и доверительная 95 % - я вероятность верного решения.

Если найденное по экспериментальным данным значение критерия попадает в область, соответствующую уровню значимости, то проверяемая гипотеза неверна и ее следует отвергнуть, совершив ошибку с вероятностью . Если же экспериментальное значение критерия попадает в область, соответствующую вероятности (1-), то проверяемую гипотезу принимают, совершив ошибку, связанную уже с альтернативной гипотезой.

Расчетное значение критерия Кохрена вычисляется по формуле:

, (9)

где  максимальная построчная дисперсия.

Расчетное значение критерия Кохрена (G^pacч) сравнивается с его табличным значением (G^табл), которое определяется по табл. Б2 (Приложение Б) в зависимости от уровня значимости , числа степеней свободы f_u и числа опытов N: G^табл(; f_u; N). Если G^pacч < G^табл, ряд построчных дисперсий однороден, если G^pacч  G^табл, ряд построчных дисперсий неоднороден.

В рассматриваемом примере f_u = 6; N = 8. По табл. 4 находим максимальную построчную дисперсию и сумму всех построчных дисперсий Тогда . Приняв уровень значимости  = 0,05, для числа степеней свободы f_u = 6 и числа опытов N = 8 получим следующее табличное значение критерия Кохрена: . Поскольку G^pacч  (0,267  0,336), ряд построчных дисперсий однороден.

Если ряд построчных дисперсий однороден, можно приступать к определению дисперсии, абсолютной ошибки и вариации эксперимента.

Дисперсия эксперимента рассчитывается по уравнению:

, (10)

где  значения построчных дисперсий (табл. 4).

Абсолютная ошибка эксперимента определяется из выражения:

(11)

вариация эксперимента – из выражения:

(12)

где .

Вариация эксперимента является мерой его точности. Точность эксперимента считается удовлетворительной, если вариация эксперимента не превышает 10 %:

(13)

В рассматриваемом примере

Точность эксперимента следует признать удовлетворительной, поскольку выполняется условие (13): вариация эксперимента не превышает 10 %.

Если условие (13) не выполняется, следует увеличить точность измерения значений функции отклика в опытах с максимальной дисперсией. Максимальные дисперсии обычно соответствуют наибольшим значениям функции отклика.

Неоднородность ряда построчных дисперсий обычно имеет место, если среди анализируемых экспериментальных данных имеются грубые ошибки или промахи, связанные с ошибками, допущенными при проведении эксперимента. В таком случае эксперимент следует повторить, тщательно проанализировав его с методологической точки зрения и уделив особое внимание методике сбора и обработки экспериментальных данных.

Если при тщательном анализе опытных данных, полученных в результате повторного эксперимента, в результатах измерений не выявлено грубых ошибок и промахов, неоднородность ряда построчных дисперсий означает, что значения функции отклика действительно определены с разной точностью, однако в каждом отдельном опыте уровень шумов (ошибок) не выходит за границы допустимых значений. Такая ситуация возникает при очень большой разнице между максимальным и минимальным значениями функции отклика (в 10…15 раз и более) вследствие неправильного выбора диапазонов варьирования факторов. В этом случае следует уменьшить диапазоны варьирования факторов и строить не одну регрессионную модель, а несколько регрессионных моделей для нескольких диапазонов варьирования факторов.

Существует несколько простых правил, придерживаясь которых в большинстве практических случаев можно обеспечить однородность ряда построчных дисперсий и, соответственно, воспроизводимость экспериментальных данных:

1. На начальных стадиях построения регрессионной модели при первичном анализе экспериментальных данных отфильтровывать из результатов измерений грубые ошибки и промахи. Учитывая относительно небольшое количество дублей в опытах, реализация этой процедуры не представляет каких-либо принципиальных сложностей.

2. Производить измерения всех значений функции отклика с использованием одной и той же контрольно-измерительной аппаратуры. Не рекомендуется использовать для измерения различных значений функции отклика измерительные устройства с разным классом точности.

3. Выбирать диапазон варьирования факторов таким образом, чтобы минимальное и максимальное значения функции отклика отличались между собой не более чем в 10…15 раз.

Если ряд дисперсий неоднороден, но в экспериментальных данных отсутствуют грубые ошибки измерений и промахи, в качестве дисперсии эксперимента принимают максимальную построчную дисперсию , взятую из табл. 4:

.

Абсолютную ошибку и вариацию эксперимента определяют соответственно по уравнениям (11) и (12). При этом, так же как и в случае однородного ряда дисперсий, должно выполняться условие (13): вариация эксперимента не должна превышать 10 %. Следует иметь в виду, что вычисление дисперсии эксперимента по максимальной построчной дисперсии предъявляет повышенные требования к точности измерения значений функции отклика во всех опытах. Особое внимание следует уделить точности постановки тех опытов, в которых функция отклика принимает максимальные значения.