Лабораторная работа 6 Моделирование расчета схем синусоидального тока в Excel Теоретическое введение

Смысл символического метода расчета в том, что при синусоидальном токе можно перейти от уравнений, составленных для мгновенных значений тока, к уравнениям, составленным относительно комплексов тока и ЭДС.

Принцип в том, что в уравнении, составленном по закону Кирхгофа производится замена

• i → Im (статическое i на амплитудное)

• R → R (мгновенное R на R переменного тока)

• Ul = L(di/dt) → Im*jwL (мгновенное значение напряжения на индуктивной катушке на комплекс, опережающий ток на 90º)

• Uc = 1/c * интеграл(i*dt) → Im*(-j/wc) (мгновенное напряжение на конденсаторе на комплекс, отстающий от тока на 90º)

• e → E (мгновенное значение эдс на комлекс ЭДС)

Например:

Рис. 5.1 схема синусоидального тока

Для данной схемы уравнение будет следующего вида

Ur+Ul+Uc = e → iR + L(di/dt) + 1/c*интеграл(i*dt) = e

Таким образом если записать данную формулу в комплексном виде, то мы получим

Im*R + Im*jwL + Im(-j/wc) = Em → {Если разрешить данную формулу относительно Im} → Im(R+jwL-j/(wc)) = Ec Таким образом мы получаем формулу для нахождения тока Im в цепи

Символичность метода

Данный метод называется символическим, потому что токи и напряжения замещают на их комплексные изображения, то есть комплекс RIm (точечка над I) - это изображение падения напряжения iR

Закон Ома для символической формы идентичен по своей сути обычному закону ома для цепи с постоянным током

I = E/(R+j(Xl-Xc))

E и I - это комплексы, пишутся сверху с точечкой

(R+j(Xl-Xc)) - имеет размерность Ом и называется полным комплексным сопротивлением цепи

Расчет схем синусоидального тока при помощи программы Excel:

При расчете используются функции МОБР и МУМНОЖ из набора стандартных функций Excel. Предварительно комплексная система уравнений преобразуется в систему уравнений с действительными коэффициентами. Рассмотрим на примере системы уравнений, составленной методом контурных токов |Z_k|·Ì_k=È_k.

Преобразуем эту систему в систему с действительными числами и коэффициентами. Для этого все величины представляются в алгебраической форме записи.

Z_k1=Z’_k1+jZ”_k1’È=E’_k’Ìk=Ì_k+jI”_k

Гда k,1=1…n, а n – порядок комплексной системы уравнений. Вместо комплексного коэффициента Z_k1 записывается подматрица

Вместо элементов системы È и Ì записываются соответственно:

и

В результате комплексная система n-го порядка преобразуется в равноценную систему с действительными числами порядка 2n. Для системы второго порядка запишем:

z^’₁₁ -z^’’₁₁ z^’₁₂ - z^’’₁₂ I^’₁₁ E^’₁₁

z^’’₁₁ z^’₁₁ z^’’₁₂ - z^’₁₂ I^’’₁₁ = E^’’₁₁

z^’₂₁ -z^’’₂₁ z^’₂₂ - z^’’₂₂ I^’₂₂ E^’₂₂

z^’’₂₁ z^’₂₁ z^’’₂₂ z^’₂₂ I^’’₂₂ E^’’₂₂

Рассмотрим схему рис. 5.2:

Рис. 5.2

Параметры схемы: X_L=100Ом, X_с=50Ом, R₁= R₂=10Ом, R₃=100Ом, È₁=100+j100В, È₂=100-j100В

Система уравнений:

0.1+j0.01 -j0.001 φ’₁ 10+j10

-j0.02 0.11+j0.02 φ’₂ = 10-j10

После преобразований система с действительными коэффициентами запишется:

0.1 -0.01 0 0.02 φ^’₁ 10

0.01 0.1 -0.02 0 φ^’’₁ = 10

0 0.02 0.11 - 0.02 φ^’₂ 10

-0.02 0 0.02 0.11 φ^’’₂ -10

После всех преобразований решаем систему в Excel

Для работы с комплексными числами используется следующий синтаксис:

КОМПЛЕКСН(действительная_часть;мнимая_часть;мнимая_единица)

Действительная_часть — это действительная часть комплексного числа.

Мнимая_часть — это мнимая часть комплексного числа.

Мнимая_единица — это обозначение мнимой единицы в комплексом числе. Если аргумент мнимая_единица опущен, то предполагается, что он равен "i".

ПРИМЕЧАНИЕ. Все функции работы с комплексными числами допускают обозначение для мнимой единицы "i" или "j", но не "I" или "J". Использование верхнего регистра приводит к получению значения ошибки #ЗНАЧ!. Все функции, которые используют два или больше комплексных числа, требуют, чтобы обозначение мнимой единицы было одно и то же.

Решения уравнения находим в матричном виде по формуле: X= A^-1B.

Где А – матрица коэффициентов, A^-1 – обратная матрица, В – матрица свободных членов.

Для расчета обратной матрицы используется функция МОБР (рис. 5.3) Сначала выделяем диапазон ячеек, в котором она будет располагаться (в нашем случае это (E5:H8), затем вызываем функцию, задаем диапазон прямой матрицы и нажимаем сочетание клавиш «shift+ctrl+enter»

Рис. 5.3

Матрицы перемножаются с помощью функции МУМНОЖ (рис. 5.4)

Рис. 5.4

Результат – рис. 5.5

Рис. 5.5

Ход выполнения работы:

Выбрать схему соответственно варианту на рис. 5.7 номиналы элементов рис. 5.6. Вычислить токи в ветвях методом узловых потенциалов.

Рис. 5.6

Рис. 5.7