Введение Создание и редактирование схем электрических принципиальных с использованием программы microcap.

Интерфейс программы MICROCAP интуитивно понятен позволяет начать моделирование электронных устройств глубокого изучения самой программы.

При запуске программы появляется окно (Рисунок 1) Main в котором производится графический ввод моделируемой схемы.

Рисунок 1 – Вид главного окна программы MICROCAP

Предположим что нам надо исследовать свойства RC-цепочки необходимо нарисовать в окне Main схему. На верхней панели (Рисунок 1.1) нажимаем на пиктограмму обозначающую резистор (здесь надо отметить что в программе приняты УГО в соответствии с европейским стандартом обозначения некоторых элементов не совпадают с УГО по ЕСКД).

Появляющееся его УГО, помещаем в нужное место и нажимаем левую кнопку мыши, после чего открывается окно задания параметров резистора (Рисунок 2).

Рисунок 2 – Окно задание параметров резистора

Здесь достаточно задать обязательный параметр VALUE – номинал резистора. Ввод в программе при задании каких либо параметров осуществляется в системе СИ, значения задаются либо непосредственно (1200) либо в показательной форме (1.2E3), либо условными буквенными обозначениями (1.2k) приведенными в следующей таблице

Таблица 1 – Буквенные обозначения множителей для численных значений

Так например у резистора номиналом 1,2кОм задается параметр VALUE равный 1.2k, обратите внимание что целая часть отделяется от дробной точкой а не запятой.

Таким же образом вставляем в схему конденсатор. Если какого – то компонента нет на панели, то его можно вызвать через пункт меню

КОМПОНЕНТЫ.

Компоненты схемы соединяются между собой проводниками. Проводники могут быть ортогональными или произвольными (диагональными). Если проводник проходит через вывод компонента (красную точку), то он считается присоединенным к компоненту (Рисунок 3).

Рисунок 3 – Примеры соединения проводников и компонентов

Схема для моделирования обязательно должна содержать точку присоединения к «земле» (общему проводу), относительно которого будут рассчитываться и отображаться потенциалы узлов.

При редактировании схемы иногда возникает необходимость перемещения отдельных компонентов или участков схемы. Для этого на верхней панели (Рисунок 4.) выбирается инструмент «редактирование компонента» (стрелочка). При редактировании нажатие левой клавиш выбор компонента, двойное нажатие – редактирование его параметров.

Рисунок 4. Наиболее часто используемые элементы верхней

инструментов

Выбранный компонент можно перемещать, удерживая нажатой клавишу мыши, или вращать, нажимая правую клавишу при нажатой левой.

Виды анализа электронных схем

MicroCap позволяет проводить следующие виды анализа:

− моделирование режимов работы электронных устройств помощью принципиальных и функциональных схем

− анализ переходных процессов в схемах при подаче напряжения питания и (или) воздействия (воздействий) произвольной с построением графиков переменных состояния схемы и их функций (зависящих от времени, друг от друга, разложенных в ряд Фурье по гармоническим составляющим);

− анализ малосигнальных частотных характеристик схемы при воздействии на нее одного или нескольких источников гармонического сигнала с постоянной амплитудой и меняющейся частотой. При этом возможен вывод следующих графиков: зависимости комплексных значений переменных состояния (амплитуда, фаза, групповая задержка) от частоты в линейном, логарифмическом, полулогарифмическом (логарифмическом по оси X или по частоте и линейным по оси Y) масштабах;

− зависимости составляющих комплексных величин переменных состояния друг от друга (например, построение годографа радиус-вектора переменной состояния при использовании в качестве переменной X частотно-зависимой действительной части, в качестве переменной Y -частотно-зависимой мнимой части);

− зависимости спектральных плотностей напряжений шума, приведенных к указанным входному и выходному узлам, от частоты;

− анализ передаточных характеристик по постоянному току. Возможно проведение анализа при изменении двух входных переменных, что позволяет строить на графике семейства характеристик устройства (как, например, семейство выходных характеристик биполярного транзистора при различных значениях тока базы IB). При этом возможен вывод следующих графиков;

− расчет нелинейных искажений усилительных схем с использованием математического аппарата спектрального Фурье – анализа;

− многовариантный анализ внутри основных трех режимов моделирования: переходных процессов, малосигнальных частотных характеристик и передаточных характеристик по постоянному току. При этом могут изменяться номиналы простых компонентов, величины параметров моделей компонентов, значения символьных переменных с линейным и логарифмическим масштабом. При использовании многовариантного анализа актуально использовать трехмерные графики. При этом по оси z откладывается значение варьируемого параметра и в пространстве строится поверхность, на которой лежат все кривые многовариантного анализа;

Кроме того среда MicroCap позволяет синтезировать аналоговые фильтры следующих типов:

− синтез фильтров в соответствии с заданными параметрами: типа фильтра (ФНЧ, ФВЧ, полосно-пропускающего - ФПП, полосно-заграждающего -ФПЗ, фазового корректора - ФК), полиномиальной аппроксимации (Батер-ворта, Чебышева 1- и 2-го рода, Бесселя, Кауэра), параметрами АЧХ [коэффициент передачи, пульсации, ослабление, полоса частот пропускания (задержания)];

− синтез пассивных фильтров в виде последовательного соединения RLC-звеньев;

− синтез активных фильтров в виде последовательного соединения различных звеньев 2-го порядка на основе ОУ (Саллена-Ки, с многопетлевой обратной связью MFB, Toy-Томаса, Флейшера-Тоу, Кервина-Хьюлсмана-Ньюкомба, Аккерберга-Мосберга, звена 2-го порядка с гиратором на ОУ).

Обработка результатов анализа

MicroCap предоставляет богатые графические возможности обработки результатов, полученных в ходе вычислений. Можно выполнять панорамирование и масштабирование окна результатов моделирования, наносить на графики размерные линии и координаты отдельных точек и т. п.

Кроме того, использование постпроцессора Probe позволяет строить любые графики без повторного моделирования на основе сформированного в процессе вычислений файла данных.

MicroCap позволяет также строить 3-мерные графики (3D Windows) и выполнять анимацию (Animate).

MicroCap-8 имеет группу специальных функций Performance, которые предназначены для обработки результатов моделирования. Эти функции позволяют на основании анализа полученного графика зависимости вычислить некоторые характеристики этой зависимости. С их помощью можно измерять такие характеристики, как время нарастания и спада импульса, длительность импульса, частота, период, и многое другое. Например, функция Rise__Time позволяет вычислить, в течение какого времени произошло нарастание сигнала от одного уровня до другого. То есть ее можно использовать для вычисления длительности фронтов импульсов.

Кроме того, использование функций Performance при обработке результатов серий расчетов позволяет строить опосредованные зависимости.

Например, при помощи этих функций можно построить график зависимости длительности фронта импульса от сопротивления резистора в цепи базы транзисторного ключа или зависимость амплитуды пульсаций на выходе фильтра выпрямителя от емкости этого фильтра.

Непосредственное построение таких зависимостей в режиме анализа переходных процессов невозможно. Но использование многовариантного анализа и функций PERFORMANCE позволяет решить такую задачу.

Основные правила моделирования электронных устройств с использованием программ схемотехнического моделирования.

Характерной ошибкой при анализе электронных схем с использованием программ схемотехнического анализа (в частности MicroCAP) является «лобовой» подход к моделированию. При этом принципиальная схема устройства механически переносится в редактор схем. Попытки определить причину такого поведения программы схемотехнического анализа обычно заканчиваются неудачей. Причина неудач банальна: незнание принципов работы систем схемотехнического анализа, алгоритмов расчета и используемых моделей компонентов. И, как следствие, непонимание ограничений, которые необходимо учитывать при моделировании электронных устройств.

Современные версии программы MicroCAP позволяют моделировать достаточно сложные схемы. Это большой плюс для опытных пользователей, но ловушка для новичков, возникает желание сразу промоделировать электронное устройство именно в том виде, в каком оно изображено на принципиальной схеме. Но это обычно удается только для очень простых случаев. А в остальных необходимо сначала немного подумать и отсечь лишнее. Ведь каждый компонент усложняет расчетную модель, увеличивает вероятность ошибки и усложняет отладку схем. Да, именно отладку. Очень многие не придают значения тому, что проводят имитационное моделирование. И поведение расчетной модели имитирует поведение реальной схемы во всем. В том числе – и в процессе настройки.

Почти ни у кого не вызывает удивление тот факт, что сколько-нибудь сложная аналоговая схема сразу после сборки как правило не работает и требует настройки (проверки и подгонки режимов). А что такой же подгонки и проверки требует расчетная модель – почему-то вызывает удивление.

Общие правила моделирования достаточно просты. Необходимо четко осознать, что моделирование электронных устройств с использованием пакетов программ схемотехнического анализа включает в себя несколько этапов:

− Определение задач моделирования;

− Анализ моделируемой схемы, разложение ее на функциональные узлы и выбор упрощающих допущений;

− Построение модели анализируемого устройства с учетом упрощающих допущений;

− Проведение расчета по построенной модели и анализ полученных результатов;

− Максимально возможное приближение модели к схеме анализируемого устройства, получение окончательных результатов и их анализ.

Распространенной ошибкой является построение сразу полной модели. Если моделируемое устройство достаточно сложное, то для построения работоспособной модели целесообразно пользоваться методом поблочной настройки, используемым для наладки реальных электронных устройств. Суть его, в применении к построению расчетной модели, состоит в том, что сначала добиваются работоспособности отдельных узлов и лишь потом объединяют их вместе. Например, при анализе усилителя мощности целесообразно сначала промоделировать входной каскад на, затем подсоединить выходные каскады, подобрать напряжение смещения этих каскадов и лишь затем завести общую обратную связь и добавить цепи термостабилизации, коррекции и защиты по току. Пренебрежение этим правилом иногда сильно затрудняет получение работоспособной модели.

Кроме того, не стоит забывать, что поиск моделей конкретных компонентов (например, точной модели какого-нибудь транзистора, используемого в реальной схеме) в подавляющем большинстве случаев является нецелесообразным. Задание в стандартной модели того же транзистора основных справочных параметров практически гарантированно дает вполне приемлемый результат (если, конечно, целью моделирования не является исследование поведения конкретного транзистора в данной схеме).

Вообще же для первичного анализа целесообразно применять базовые модели компонентов. Но, в тоже время – необходимо знать их особенности. К примеру, отсутствие насыщения у простейшей модели операционного усилителя приведет к неработоспособности ряда схем, в которых используется именно этот режим работы компонента.

Максимально возможное приближение модели к схеме анализируемого устройства, получение окончательных результатов и их анализ. На этом этапе проводят окончательный расчет по скорректированной модели, получают все необходимые характеристики и, на основе их анализа, делают окончательные выводы.

Лабораторная работа 1

Основы работы с системой MathCAD. Переменные и функции.

Операторы MathCAD. Матричные вычисления. Решение систем уравнений.

Теоретическое введение

В ходе данной лабораторной работы необходимо познакомиться с пользовательским интерфейсом, работой с документами, ввод и редактирование текста и формул, основы проведения вычислений в MathCAD, матричные вычисления

MathCAD является математическим редактором, позволяющим проводить

разнообразные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов.

На рис. 1.1 изображено окно MathCAD с основными панелями инструментов:

Standard (Стандартная);

Formatting (Форматирование);

Math (Математика) - для вставки математических символов и

операторов в документы.

Рис.1.1 главное окно Mathcad, основные панели моделирования

Редактирование документов:

Ввести математическое выражение можно в любом пустом месте документа MathCAD. Для этого поместите курсор ввода в желаемое место документа, щелкнув в нем мышью, и просто начинайте вводить формулу, нажимая клавиши на клавиатуре. При этом в документе создается математическая область (math region), которая предназначена для хранения формул, интерпретируемых процессором MathCAD.

Операторы:

Каждый оператор в MathCAD обозначает некоторое математическое действие в виде символа. Ряд действий (например, сложение, деление, транспонирование матрицы и т. п.) реализован в MathCAD в виде встроенных операторов, а другие действия (например, sin, exp и т. п.) - в виде встроенных функций.

Арифметические операторы:

Операторы, обозначающие основные арифметические действия, вводятся с панели Calculator (Калькулятор),:

- сложение и вычитание: + ;

- умножение и деление;

- факториал: !;

- модуль числа: |х|;

- квадратный корень;

- корень n-й степени;

- возведение х в степень у: хy.

Для автоматического ввода функции:

1. Нажмите кнопку с надписью f(x) на стандартной панели инструментов.

2. В списке Function Category (Категория функции) появившегося диалогового окна Insert Function (Вставить функцию) выберите категорию, к которой принадлежит функция.

3. В списке Function Name (Имя функции) выберите имя встроенной функции, под которым она фигурирует в MathCAD.

Ввод специализированных символов:

Не всякий символ можно ввести с клавиатуры. Например, неочевидно, как вставить в документ знак интеграла или дифференцирования. Для этого в

MathCAD имеются специальные панели инструментов, часть из которых приведена ниже на рисунке 1.2

Рис. 1.2 использование панели инструментов math

Задание переменных:

Пример 1

Обратите внимание на оператор присваивания, который применяется для задания значений переменным в первой строке примера. Его, как и все остальные символы, можно ввести с помощью панели Calculator (Калькулятор).

Присваивание обозначается не знаком равенства, чтобы подчеркнуть его отличие от операции вычисления. Символ равенства говорит о вычислении значения слева направо, а символ ":=" - о присваивании значения справа налево.

Символьный вывод:

Для символьных вычислений имеется ряд специальных средств, самое

простое из них - это оператор символьного вывода (symbolic evaluation). Он

обозначается символом → и в большинстве случаев применяется точно также, как оператор численного вывода, однако внутреннее различие между действием этих двух операторов огромно. Если численный вывод - это расчет по формулам и численным методам то символьный вывод - результат работы системы искусственного интеллекта, встроенной в MathCAD и называемой символьным процессором.

Этапы символьного вычисления математического выражения

1. Введите нужное выражение.

2. Введите оператор символьного вывода (рис. 1.3).

Рис. 1.3 кнопка вставки символьного вывода

3. После этого справа от символа оператора символьного вывода появится определенное аналитически значение выражения, как показано ниже на примерах.

Пример 2

Для символьного вывода не требуется предварительно определять переменные, входящие в левую часть выражения! Если же переменным были все-таки присвоены ранее некоторые значения, символьный процессор просто подставит их в упрощенную формулу и выдаст результат с учетом этих значений.

Пример 3

Как показывают приведенные примеры, преимущество символьных вычислений заключается в выдаче аналитического результата.

Переменные и функции:

Чтобы определить переменную, достаточно ввести ее имя и присвоить ей некоторое значение, для чего служит оператор присваивания.

Функции в MathCAD записываются в обычной для математика форме:

- f (х,...) - функция;

f - имя функции;

х,... - список переменных.

Пример 4

Например, результат ввода функции f(x,y) = x2⋅cos (x+y) имеет вид:

Вывод значений переменных и функций:

Перед тем как вычислить значение математического выражения, вы обязаны определить значение каждой входящей в него переменной. Вычисляемое выражение может содержать любое количество переменных, операторов и функций.

Вывод значения функции:

Пример 5

I Вид функции: f (x y):=x²cos (x+y)

II Значения аргументов

x:=1.3

y:=7

f (x y)=

III Функция с аргументами

f (2, 5.99) =

f (1.3, 7) =

IV Смешанное задание, где одна переменная задана как константа

y:=5

f (x) := x²cos (x+y)

f (1) =

Матричные вычисления. Простейшие операции с матрицами:

Простейшие операции матричной алгебры реализованы в MathCAD в виде операторов. Написание операторов по смыслу максимально приближено к их математическому действию. Каждый оператор выражается соответствующим символом.

Транспонирование:

Транспонированием называют операцию, переводящую матрицу размерности n×m в матрицу размерности m×n, делая столбцы исходной матрицы строками, а строки - столбцами. Ввод символа транспонирования (transpose) осуществляется с помощью панели инструментов Matrix (Матрица).

Рис. 1.4 панель инструментов Matrix

В Маткад определены следующие действия над векторами и матрицами:

А) сложение – вычитание,

В) скалярное и векторное умножение,

Г) обращение,

Д) транспонирование,

Е) сортировка,

Ж) выделение столбцов.

Они выполняются с использованием следующих кнопок панели Matrix:

кнопка индексации элементов матрицы,

кнопка обращения матрицы,

кнопка скалярного произведения векторов и матриц

кнопка транспонирования матрицы,

кнопка векторного произведения двух векторов

кнопка сложения векторов

кнопка выделения столбца матрицы

кнопка вычисления детерминанта матрицы.

Графики матричных и векторных зависимостей:

В Маткаде возможно построение графиков по данным, записанным в векторной и матричной форме. На рис.1.5 показано построение двумерного графика по данным векторов vx и vy, а на рис.1,6. – построение трехмерного графика по заданным в матрице аргументам и вектору функции.

Рис. 1.5 построение двумерного графика по векторным данным

Заданы двумерная матрица аргументов S и вектор значений функции этих аргументов Y.Показано построение графика.

Рис. 1.6 трехмерный график данных, записанных в векторной форме

Операции над матрицами в аналитической (символьной) форме:

Системы компьютерной алгебры снабжаются специальным процессором для выполнения аналитических (символьных) вычислений. Его основой является ядро, хранящее всю совокупность формул и формульных преобразований, с помощью которых производятся аналитические вычисления. Чем больше этих формул в ядре, тем надежней работа символьного процессора и тем вероятнее, что поставленная задача будет решена, разумеется, если такое решение существует в принципе (что бывает далеко не всегда).

Ядро символьного процессора Маткад - несколько упрощенный вариант ядра известной системы символьной математики Maple V фирмы Waterloo Maple Software , у которой MathSoft (разработчик Маткада) приобрела лицензию на его применение, благодаря чему Маткад стал системой символьной математики.

Введение в систему Маткад символьных вычислений придает ей качественно новые возможности. Символьные вычисления выполняются, в конечном счете, столь же просто для пользователя, как, скажем, вычисление квадрата х.

Операции, относящиеся к работе символьного процессора, содержатся в подменю позиции Symbolic (Символика) главного меню.

Чтобы символьные операции выполнялись, процессору необходимо указать, над каким выражением эти операции должны производиться, т е надо выделить выражение. Для ряда операций следует не только указать выражение, к которому они относятся, но и наметить переменную, относительно которой выполняется та или иная символьная операция.

Само выражение в таком случае не выделяется, ведь и так ясно, что если маркер ввода выделяет переменную какого-либо выражения, то это выражение уже отмечено наличием в нем выделяемой переменной

Символьные операции разбиты на пять характерных разделов. Это операции с переменными, операции с выражениями, операции с матрицами, операции преобразования, стиль эволюции. Первыми идут наиболее часто используемые операции Они могут выполняться с выражениями, содержащими комплексные числа или имеющими решения в комплексном виде

В данной лабораторной работе мы рассмотрим только операции с матрицами. В дальнейшем будут рассмотрены и другие символьные операции.

Символьный процессор системы Маткад обеспечивает проведение в символьном виде трех наиболее распространенных матричных операций транспонирования и обращения матриц, а также вычисления их детерминанта.

При символьных вычислениях, прежде всего, следует вызвать панель символьных вычислений нажатием кнопки на математической панели.

После этого появится панель символьных вычислений, показанная на рис.1.3

Для символьных операций над матрицами нам понадобится только предпоследняя строка этого окна, с помощью кнопок которой и производятся транспонирование, обращение матрицы и нахождение ее определителя.

Решение уравнений средствами Mathcad:

Решение одного уравнения

Для простейших уравнений вида f(x) = 0 решение в Mathcad находится с помощью функции root.

root( f(х1, x2, …), х1, a, b)

Возвращает значение х1, принадлежащее отрезку [a, b], при котором выражение или функция f(х) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция возвращает скаляр.

Аргументы:

f(х1, x2, …) - функция, определенная где-либо в рабочем документе, или выражение. Выражение должно возвращать скалярные значения.

х1 - - имя переменной, которая используется в выражении. Этой переменной перед использованием функции root необходимо присвоить числовое значение. Mathcad использует его как начальное приближение при поиске корня.

a, b - необязательны, если используются, то должны быть вещественными числами, причем a<b.

Если после многих итераций Mathcad не находит подходящего приближения, то появится сообщение  (отсутствует сходимость).

Эта ошибка может быть вызвана следующими причинами:

• Уравнение не имеет корней.

• Корни уравнения расположены далеко от начального приближения.

• Выражение имеет локальные max и min между начальным приближением и корнями.

• Выражение имеет разрывы между начальными приближениями и корнями.

• Выражение имеет комплексный корень, но начальное приближение было вещественным.

Чтобы установить причину ошибки, исследуйте график f(x). Он поможет выяснить наличие корней уравнения f(x) =0 и, если они есть, то определить приблизительно их значения. Чем точнее выбрано начальное приближение корня, тем быстрее будет root сходиться.

Рекомендации по использованию функции root:

• Для изменения точности, с которой функция root ищет корень, нужно изменить значение системной переменной TOL. Если значение TOL увеличивается, функция root будет сходиться быстрее, но ответ будет менее точен. Если значение TOL уменьшается, то функция root будет сходиться медленнее, но ответ будет более точен. Чтобы изменить значение TOL в определенной точке рабочего документа, используйте определение вида

Чтобы изменить значение TOL для всего рабочего документа, выберите команду Математика/ Параметры…/ Переменные/ Допуск сходимости (TOL).

• Если два корня расположены близко друг от друга, следует уменьшить TOL, чтобы различить их.

• Если функция f(x) имеет малый наклон около искомого корня, функция root(f(x), x) может сходиться к значению r, отстоящему от корня достаточно далеко. В таких случаях для нахождения более точного значения корня необходимо уменьшить значение TOL.

• Другой вариант заключается в замене уравнения f(x) = 0 на g(x) = 0

.

 

Рис. 1.7.

• Для выражения f(x) с известным корнем а нахождение дополнительных корней f(x) эквивалентно поиску корней уравнения h(x) =f(x)/(x-a). Подобный прием полезен для нахождения корней, расположенных близко друг к другу. Проще искать корень выражения h(x), чем пробовать искать другой корень уравнения f(x) = 0, выбирая различные начальные приближения.

Нахождение корней полинома

Для нахождения корней выражения, имеющего вид

v_nxⁿ + ... + v₂x² + v₁x + v₀,

лучше использовать функцию polyroots, нежели root. В отличие от функции root, функция polyroots не требует начального приближения и возвращает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные.

Polyroots(v)

Возвращает корни полинома степени n. Коэффициенты полинома находятся в векторе v длины n + 1. Возвращает вектор длины n, состоящий из корней полинома.

Аргументы:

V - вектор, содержащий коэффициенты полинома.

Рисунок 1.7 иллюстрирует решение уравнений средствами Mathcad.

Решение систем уравнений:

 

MathCAD дает возможность решать также и системы уравнений. Максимальное число уравнений и переменных равно 50. Результатом решения системы будет численное значение искомого корня.

Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующее:

• Задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. Mathcad решает систему с помощью итерационных методов.

• Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает Mathcad, что далее следует система уравнений.

• Введите уравнения и неравенства в любом порядке. Используйте [Ctrl]= для печати символа =. Между левыми и правыми частями неравенств может стоять любой из символов <, >,   и   .

• Введите любое выражение, которое включает функцию Find, например: а:= Find(х, у).

Find(z1, z2, . . .)

Возвращает точное решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.

Ключевое слово Given, уравнения и неравенства, которые следуют за ним, и какое-либо выражение, содержащее функцию Find, называют блоком решения уравнений.

Следующие выражения недопустимы внутри блока решения:

• Ограничения со знаком   .

• Дискретный аргумент или выражения, содержащие дискретный аргумент в любой форме.

• Неравенства вида a < b < c.

Блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга, каждый блок может иметь только одно ключевое слово Given и имя функции Find.

Функция, которая завершает блок решения уравнений, может быть использована аналогично любой другой функции. Можно произвести с ней следующие три действия:

• Можно вывести найденное решение, напечатав выражение вида:

Find(var1, var2,…) =.

• Определить переменную с помощью функции Find:

a := Find(x) - скаляр,

var := Find(var1, var2,…) - вектор.

Это удобно сделать, если требуется использовать решение системы уравнений в другом месте рабочего документа.

• Определить другую функцию с помощью Find

f(a, b, c, …) := Find(x, y, z, …).

Эта конструкция удобна для многократного решения системы уравнений для различных значений некоторых параметровa, b, c,…, непосредственно входящих в систему уравнений.

Сообщение об ошибке   (Решение не найдено) при решении уравнений появляется, когда:

• Поставленная задача может не иметь решения.

• Для уравнения, которое не имеет вещественных решений, в качестве начального приближения взято вещественное число и наоборот.

• В процессе поиска решения последовательность приближений попала в точку локального минимума невязки. Для поиска искомого решения нужно задать различные начальные приближения.

• Возможно, поставленная задача не может быть решена с заданной точностью. Попробуйте увеличить значение TOL.

Пример 1 Рисунка 1.8 иллюстрирует решение системы уравнений в Mathcad.

 

Рис. 1.8.

Для решения линейных систем уравнений используется функция lsolve.

Приближенные решения

Функция Minner очень похожа на функцию Find (использует тот же алгоритм). Если в результате поиска не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Minner возвращает это приближение. Функция Find в этом случае возвращает сообщение об ошибке. Правила использования функции Minner такие же, как и функции Find.

Minerr(z1, z2, . . .)

Возвращает приближенное решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.

Если Minner используется в блоке решения уравнений, необходимо всегда включать дополнительную проверку достоверности результатов.

Символьное решение уравнений:

В Mathcad можно быстро и точно найти численное значение корня с помощью функции root. Но имеются некоторые задачи, для которых возможности Mathcad позволяют находить решения в символьном (аналитическом) виде.

Решение уравнений в символьном виде позволяет найти точные или приближенные корни уравнения:

• Если решаемое уравнение имеет параметр, то решение в символьном виде может выразить искомый корень непосредственно через параметр. Поэтому вместо того, чтобы решать уравнение для каждого нового значения параметра, можно просто заменять его значение в найденном символьном решении.

• Если нужно найти все комплексные корни полинома со степенью меньше или равной 4, символьное решение даст их точные значения в одном векторе или в аналитическом или цифровом виде.

Команда Символы Ю Переменные Ю Вычислить позволяет решить уравнение относительно некоторой переменной и выразить его корни через остальные параметры уравнения. Чтобы решить уравнение символьно необходимо:

• Напечатать выражение (для ввода знака равенства используйте комбинацию клавиш [Ctrl]=).

• Выделить переменную, относительно которой нужно решить уравнение, щелкнув на ней мышью.

• Выбрать пункт меню Символы Ю Переменные Ю Вычислить.

Нет необходимости приравнивать выражение нулю. Если Mathcad не находит знака равенства, он предполагает, что требуется приравнять выражение нулю.

Чтобы решить систему уравнений в символьном виде, необходимо выполнить следующее:

• Напечатать ключевое слово Given.

• Напечатать уравнения в любом порядке ниже слова Given. Удостоверьтесь, что для ввода знака = используется [Ctrl]=.

• Напечатать функцию Find, соответствующую системе уравнений.

• Нажать [Ctrl]. (клавиша CTRL, сопровождаемая точкой). Mathcad отобразит символьный знак равенства ® .

• Щелкнуть мышью на функции Find.

Пример 2 Рисунка 12 иллюстрирует символьное решение системы уравнений в Mathcad.

Задание

Лабораторная работа 2

Моделирование резистивных электрических цепей и законов Ома и Киргофа в MathCAD.

Теоретическое введение

Резистивными называются электрические цепи, в схему замещения которых входят только элементы активного сопротивления и источники. Чаще всего это цепи, составленные из резисторов. Основной особенностью резистивных цепей является отсутствие накопителей энергии – индуктивностей и емкостей. Поэтому в специальной литературе такие цепи часто называют цепями "без памяти".

Анализ резистивных цепей представляет собою простую задачу, так как колебания в резистивных цепях описываются линейными алгебраическими уравнениями. Полученные при рассмотрении резистивных цепей методы анализа колебаний и основные теоремы теории цепей в дальнейших темах будут распространены на цепи общего вида. В этом прежде всего ценность результатов анализа колебаний в резистивных цепях.

Часто при подсчете электрических цепей оказывается полезным преобразовать треугольник в звезду или, наоборот, звезду в треугольник. Практически чаще бывает необходимо преобразовывать треугольник в звезду. Если преобразование выполнить таким образом, что при одинаковых значениях потенциалов одноименных точек треугольника и звезды подтекающие к этим точкам токи одинаковы, то вся внешняя схема «не заметит» произведенной замены. Выведем формулы преобразований.

Прямое преобразование

Сопротивление между выводами 1 и 2 в схеме «звезда» есть R₁+R₂, а в схеме «треугольник» резистор R₁₂ соединён параллельно с последовательно соединёнными R₂₃и R₁₃, то есть сопротивление между выводами 1 и 2 R₁+R₂=R₁₂(R₂₃+R₁₃)/(R₁₂+R₂₃+R₁₃), аналогично для других пар выводов. Решая эту очень простую систему уравнений, получаем:

Преобразование треугольник-звезда бывает полезно, например, при расчёте сопротивления неуравновешенного моста

R₁/R₂≠R₄/R₃

Обратное преобразование

Если решить исходную систему уравнений относительно сопротивлений R₁₂, R₁₃ и R₂₃, то получим формулы для обратного преобразования, из звезды в треугольник

Закон Ома для всей цепи выражает соотношение между электродвижущей силой (ЭДС), сопротивлением и током. Согласно этому закону ток в замкнутой цепи равен ЭДС источника деленной на сопротивление всей цепи:

где I - ток, протекающий по цепи;

E - ЭДС, генератора, подключенного к электрической цепи;

Rг - сопротивление генератора;

Rц - сопротивление цепи.

Закон Ома для участка цепи. Ток на участке цепи прямо пропорционален напряжению между началом и концом  участка и обратно пропорционален сопротивлению участка. Аналитически закон выражается в следующем виде:

где I - ток, протекающий на участке цепи;

R - сопротивление участка цепи;

U - напряжение на участке цепи.

Обобщенный закон Ома. Сила тока  в контуре цепи прямо пропорциональна алгебраической сумме ЭДС всех источников цепи и обратно пропорциональна арифметической сумме всех активных сопротивлений цепи.

где m и n – количество источников и резисторов в контуре цепи.

При алгебраическом суммировании со знаком “плюс” берутся те ЭДС, направление которых совпадает с направлением тока, а со знаком “минус”– те ЭДС, направление которых не совпадает с направлением тока.

Первый закон Кирхгофа. Электрические цепи подразделяют на неразветвленные и разветвленные. На рис. 2.1 представлена простейшая разветвленная цепь.

Рис. 2.1 Схема разветвленной цепи.

Разветвленной называется такая электрическая цепь, в которой ток от какого-либо источника может идти по различным путям и, в которой, следовательно, имеются точки, где сходятся два и более проводников. Эти точки называют узлами. Токи, текущие к узлу считаются имеющими один знак, а от узла – другой.

Учитывая это правило для схемы, изображенной на рис. 2.2,а можно записать

или

.

Для цепи, имеющей n ветвей, сходящихся в одном узле, имеем:

т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в любом узле, равна

нулю.

Рис. 2.2 Схема поясняющая законы Кирхгофа.

Физически первый закон Кирхгофа означает, что движение зарядов в цепи происходит так, что ни в одном из узлов они не скапливаются.

Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между ЭДС, токами и сопротивлениями в любом замкнутом контуре, который можно выделить в рассматриваемой цепи.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа алгебраическая сумма ЭДС, действующих в любом контуре разветвленной электрической цепи, равна алгебраической сумме падений напряжений на всех сопротивлениях контура

Рассмотрим электрическую цепь, изображенную на рис. 2.2,б. Обозначим стрелкой направление обхода контура. При составлении уравнений будем брать со знаком “плюс” те ЭДС и падения напряжений, направления которых совпадают с направлением обхода контура и со знаком “минус” те, которые направлены против обхода. Для цепи, изображенной на рис. 1.11,б второй закон Кирхгофа запишется в следующем виде:

.