2.2.Теория возмущений. Возмущения, независящие от времени

Точное аналитическое решение уравнения Шредингера можно найти -только для очень небольшого- числа задач. Во многих случаях удаётся решить задачу численно, но для этого нужны достаточно глубокие знания численных методов, в частности, методов решения дифференциальных уравнений. В то же время, довольно часто удаётся решить уравнение Шредингера приближенно, но с достаточной степенью точности, чтобы объяснить или даже рассчитать количественно какой-либо физический эффект. Одним из приближенных методов решения уравнения Шредингера является метод теории возмущений.

Этот метод удобно применять тогда, когда рассматриваемая физическая система незначительно отличается от другой системы, для которой известно аналитическое решение уравнения Шредингера, известны собственные значения энергии и соответствующие собственные функции. В таком случае первый шаг в решении поставленной физической задачи состоит в точном решении упрощенной задачи, а второй - в приближенном вычислении поправок, обусловленных малыми членами, отброшенными в упрощенной задаче. Предположим, что гамильтониан данной физической системы имеет вид

где представляет собой малую поправку (возмущение) к

«невозмущенному» оператору

В данной работе мы рассматриваем возмущения не зависящие явно от времени (то же самое предполагается и в отношении Условия,

необходимые для того, чтобы можно было рассматривать оператор V как «малый», по сравнению с оператором будут определены ниже.

Задача теории возмущений для дискретного спектра может быть

сформулирована следующим образом.

Предполагается, что собственные функции и собственные

значения дискретного спектра невозмущенного оператора

известны, то есть известны точные решения уравнения

(2.1).

Требуется найти приближенные решения уравнения

(2.2) то есть приближенные выражения для собственных функций и значений зозмущенного оператора Предполагается, что

собственные значения оператора не вырожденные, и считаем, что имеется дискретный спектр уровней энергии.

Вычисления удобно производить в матричном виде, для этого

разложим искомую функцию гр по функциям :

(2.3) Подставляя это разложение в (2.2) получим:

а домножив это равенство с обеих сторон на ц)_к и интегрируя, найдем

(2.4) Здесь выведена матрица оператора возмущения эпределенная с

помощью невозмущенных функции :

(2.5)

12

Будем искать значения коэффициентов и энергии Е в виде рядов:

•■-, где величины

- того же порядка малости, что н возмущение У. Величины Е&\- второго порядка малости и т.д.

Определим поправки к и-му собственному значению и собственной функции, в соответствии с чем полагаем, что Для

нахождения первого приближения подставим в уравнение (2.4)

, сохранив только члены первого порядка. Уравнение с к = п дает:

(2.6)

Таким образом, поправка первого приближения к собственному значению Ь_ж равна среднему значению возмущения в состоянии

Уравнение (2.4) при кФп дает

остается произвольным и должно быть выбрано так, чтобы функция

была нормирована с точностью до членов первого порядка

включительно. Для этого надо полагать Действительно, функция

(2.8),

ортогональна к а поэтому интеграл от отличается

на единицу лишь на величину второго порядка малости.

Формула (2.8) определяет поправку первого приближения к волновым функциям. Из нее видно условие применимости рассматриваемого метода:

(2-9),

то есть матричные элементы возмущения должны быть малы по сравнению с соответствующими разностями невозмущенных уровней энергии.

Определим еще поправку второго приближения к собственному

значению Для этого подставляем в (2.4)

и рассматриваем члены второго

порядка малости. Уравнение при к = п дает

откула

(2.10) Отметим, что поправка второго приближения к энергии нормального

состояния всегда отрицательна. Действительно, если соответствует

наименьшему значению, то все члены в сумме (2.10) отрицательны.

Дальнейшие приближения можно вычислить аналогичным образом. Полученные результаты непосредственно обобщаются на случай наличия у оператора также и непрерывного спектра (причем речь идет по-

прежнему о возмущенном состоянии дискретного спектра). Для этого надо только к суммам по дискретному спектру прибавить соответствующие интегралы по непрерывному спектру. Будем отличать различные состояния . непрерывного спектра индексом V, пробегающим непрерывный ряд

значений. Под у условно подразумевается совокупность значений величин,

достаточных для полного определения состояния (если состояние непрерывного спектра вырождены, что почти всегда и бывает, то задание

14

одной только энергии не достаточно для определения состояния; при этом волновые функции 1р.„ ' должны быть нормированы на дельта-функцию от величин у). Тогда, например, вместо (2.8) надо будет писать

(2.11) И аналогично для других формул.