3.4. Определение параметров градуировки монохроматора ум-2 методом наименьших квадратов (мнк)

3.4.1. Построение системы уравнений мнк

Для построения системы уравнений метода наименьших квадратов линеаризуем уравнение (3.1). Для i-го измерения будем иметь:

a = (θ_i – θ₀) (λ_i – λ₀)

или

a = θ_i λ_i – θ_i λ₀ – θ₀ λ_i + θ₀ λ₀.

Переобозначив переменные получим:

θ_i·λ_i – θ_i·A – λ_i·B + С = 0, (3.2)

где A = λ₀; B = θ₀; С = θ₀·λ₀ – a.

Составим систему уравнений для определения коэффициентов уравнения (3.2). Для этого просуммируем соотношение (3.2) по всем N экспериментальным точкам и найдем условие минимума полученной суммы. Суммирование дает:

. (3.3)

Дифференцирование суммы по параметрам дает систему уравнений:

(∂ψ/∂A)/2 = 0; Aθ_i² + Bθ_iλ_i – Cθ_i = λ_iθ_i²;

(∂ψ/∂B)/2 = 0; Aθ_iλ_i + Bλ_i² – Cλ_i = λ_i²θ_i; (3.4)

(∂ψ/∂С)/2 = 0; Aθ_i + Bλ_i – CN = λ_iθ_i,

где N – количество длин волн, использовавшихся при градуировке.

3.4.2. Решение системы мнк

Если вычислить детерминанты системы (3.4)

(3.5)

то решние системы будет иметь вид:

(3.6)

3.4.3. Вычисление дисперсий параметров

Для нахождения абсолютной и относительной погрешностей определения параметров найдем дисперсии:

(3.7)

,

где – дисперсия зависимости, рассчитанная по значениям параметров A, B и C, определенным с помощью соотношений (3.6); Θ(A, B, C, λ_i) – значение показаний барабана монохроматора, рассчитанное с помощью соотношения (3.1).

Вычислим входящие в определение дисперсий производные от параметров:

. (3.8)

Определим производные от детерминантов, входящие в выражения для производных от параметров (3.8). Для этого необходимо расписать выражения для вычисления детерминантов и взять соответствующие производные.

3.4.3.1. Детерминант системы

(3.9)

Производная детерминанта системы:

(3.10)

Параметры, входящие в выражение для вычисления производной детерминанта системы:

(3.11)

3.4.3.2. Детерминант для вычисления A

(3.12)

Производная детерминанта для вычисления A:

После преобразований для производной детерминанта для вычисления A получим:

(3.13)

Параметры, входящие в выражение для вычисления производной детерминанта для вычисления A:

(3.14)

3.4.3.3. Детерминант для вычисления B

(3.15)

Производная детерминанта для вычисления B:

(3.16)

Параметры, входящие в выражение для вычисления производной детерминанта для вычисления B:

(3.17)

3.4.3.4. Детерминант для вычисления C

(3.18)

Производная детерминанта для вычисления C:

(3.19)

Параметры, входящие в выражение для вычисления производной детерминанта для вычисления C:

(3.20)

Общий член суммы, входящий в выражение для вычисления :

(3.21)

Общий член суммы, входящий в выражение для вычисления :

(3.22)

Общий член суммы, входящий в выражение для вычисления :

(3.23)

3.4.4. Параметры градуировки монохроматора и их погрешности

3.4.4.1. Определение параметров градуировки монохроматора

Далее обработка численных данных выполняется с помощью книги Excel. С помощью соотношений (3.5) вычисляются суммы – элементы определителей. Затем согласно выражениям (3.6) находятся значения коэффициентов A, B и C. После чего определяются значения коэффициентов соотношения (3.1):

λ₀ = A; θ₀ = B; a = θ₀·λ₀ –.С = AB – C. (3.24)

3.4.4.1. Определение погрешности параметров градуировки монохроматора

С помощью соотношений (3.7), (3.9) – (3.23) определяются – дисперсии коэффициентов A, B и C.

Зная дисперсии можно вычислить точность определения коэффициентов A, B и C, если задаться доверительной вероятностью (надежностью), например α = 0,98.

(3.25)

где t_α – коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности α при N измерениях (числовое значение t_ для выбранной надежности  находят по таблице «Значения t_α в зависимости от k и α (таблица Стьюдента)» (Таблица 1)).

После вычисления точности определения коэффициентов A, B и C найдем точность, с которой определены параметры градуировки монохроматора λ₀, θ₀:

(3.26)

Чтобы найти точность параметра градуировки a, найдем относительную погрешность δ_a. С этой целью вычислим логарифмическую производную от зависимости a(A, B, C):

(3.27)

Заменив в соотношении (3.27) дифференциалы абсолютными погрешностями, а знаки «–» на «+», получим:

(3.28)

Точность параметра градуировки a, выраженная через точности коэффициентов A, B и C, тогда будет иметь вид:

(3.29)