2.3. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки

Если заданы две различные точки и , то за направляющий вектор прямой, проходящей через эти точки, можно взять вектор . Полагая в уравнениях (2.3): , получим канонические уравнения прямой:

. (2.4)

2.4. Общие уравнения прямой

Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Рассмотрим систему уравнений:

. (2.5)

Уравнения (2.5) называют общими уравнениями прямой.

От общих уравнений прямой можно перейти к параметрическим уравнениям (2.2). Координаты точки М₀ прямой l получаем из системы уравнений (2.2), придав одной из координат произвольное значение (например, z = 0). Так как прямая l перпендикулярна векторам и , то за направляющий вектор прямой можно принять векторное произведение этих векторов:

.

2.5. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых

П усть две прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями: и .

Под углом между двумя прямыми в пространстве понимают любой из углов, образованных двумя прямыми (векторами, проведенными из одной точки параллельно данным прямым) (рис. 2.3). Поэтому косинус угла между прямыми можно найти по формуле:

. (2.6)

Условие параллельности прямых совпадает с условием коллинеарности векторов и :

. (2.7)

Условие перпендикулярности прямых есть вместе с тем условие перпендикулярности направляющих векторов и :

. (2.8)

2.6. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости

П усть две прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями (рис. 2.4)

 и .

Их направляющие векторы соответственно равны и . Прямая l₁ проходит через точку , прямая l₂ проходит через точку . Проведем вектор . Тогда прямые l₁ и l₂ лежат в одной плоскости, если векторы и компланарны. Условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения:

. (2.9)

При выполнении условия (2.9) прямые лежат в одной плоскости.

2.7. Расстояние от точки до прямой

П усть прямая l задана уравнениями и точка .

Требуется определить расстояние от точки М до прямой l. Возьмем на прямой l точку (рис. 2.5).

Проведем вектор . Расстояние от точки М до прямой можно найти по формуле:

. (2.10)

3. Прямая и плоскость в пространстве

3.1 Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

П усть плоскость задана уравнением , а прямая уравнениями .

Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Обозначим через угол между прямой и плоскостью, а через – угол между векторами и . Тогда . Найдем синус угла , считая : . Так как , получаем:

. (3.1)

Условие параллельности прямой и плоскости совпадает с условием перпендикулярности векторов и :

. (3.2)

Условие перпендикулярности прямой и плоскости есть вместе с тем условие параллельности векторов и :

. (3.3)

3.2. Пересечение прямой и плоскости. Условие принадлежности прямой плоскости

Пусть требуется найти точку пересечения прямой с плоскостью .

Перейдем к параметрическим уравнениям прямой .

Подставляя эти выражения для х, у, z в уравнение плоскости, получаем уравнение относительно переменной t или

. (3.4)

Если прямая не параллельна плоскости, т.е. , то из равенства (3.4) находим значение t:

.

Подставляя найденное значение t в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью.

Если , а , то прямая параллельна плоскости.

Если и , то уравнение (3.4) имеет вид , следовательно, прямая лежит в плоскости.

Таким образом, условие принадлежности прямой плоскости имеет вид:

. (3.5)

16