1 .5. Уравнение плоскости в отрезках на осях

Рассмотрим полное уравнение (1.4). Так как в таком уравнении ни один из коэффициентов А, В, С, D не равен нулю, то его можно переписать в виде:

.

Полагая, для краткости , получаем:

. (1.7)

Уравнение (1.7) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Знаменатели а, b, с из уравнения (1.7) есть величины отрезков, отсекаемых плоскостью от осей координат (рис. 1.3). В самом деле, точка пересечения плоскости с осью Ох определяется из уравнения этой плоскости (1.7) при дополнительном условии у = 0, z = 0. Тогда х = а, и величина отрезка, отсекаемая плоскостью (1.7) на оси Ох, равна а. Аналогично устанавливается, что отрезки, отсекаемые плоскостью (1.7) на осях Оу и Оz, имеют величины, равные соответственно b и с.

1.6. Расстояние от точки до плоскости

П усть расстояние от точки до плоскости равно , где (рис. 1.5). Векторы и перпендикулярны плоскости, т.е. параллельны друг другу. Следовательно, угол между ними или . Найдем скалярное произведение этих векторов:

; .

Приравняем данные уравнения: ; .

Точка принадлежит плоскости, т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости .

Поэтому , откуда

. (1.8)

1.7. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей

П усть даны уравнения двух плоскостей

. (1.9)

Углом между плоскостями (1.9) называется любой из двух смежных двугранных углов, образованных этими плоскостями (достаточно определить один из этих углов, т.к. их сумма равна π).

Один из них равен углу между нормальными векторами к этим плоскостям и (рис. 1.6). Поэтому

. (1.10)

Условие параллельности плоскостей (1.9) совпадает с условием коллинеарности векторов и .

. (1.11)

Условие совпадения плоскостей (1.9) выражается равенствами:

. (1.12)

Условие перпендикулярности плоскостей (1.9) есть вместе с тем условие перпендикулярности нормальных векторов и :

. (1.13)

2. Прямая

2.1. Параметрические уравнения прямой

П усть даны точка на прямой l и направляющий вектор прямой . Направляющий вектор – это вектор, параллельный прямой. М – произвольная точка прямой l (рис. 2.1). Так как прямая параллельна вектору , то вектор тоже параллелен вектору . Следовательно, при любом положении точки М имеет место следующие равенство:

, (2.1)

(2.1) – уравнение прямой в векторной форме.

Переходя к соотношениям между координатами векторов, получим параметрические уравнения прямой:

. (2.2)

Легко видеть, что всякая точка М с координатами, определяемыми из уравнений (2.2), лежит на прямой, проходящей через точку и коллинеарной вектору .

2.2. Канонические уравнения прямой

Исключая из уравнений (2.2) параметр t, получим канонические уравнения прямой:

. (2.3)

В этих уравнениях – некоторая фиксированная точка прямой и - направляющий вектор прямой. Координаты этого вектора называются так же угловыми коэффициентами прямой. Если направляющий вектор единичный, то , , где α, β, γ – углы, образованные вектором с осями Ох, Оу, Оz.

Замечание. В уравнениях (2.3) числа m, n, p могут принимать любые значения, кроме одновременного равенства нулю.

Например, – уравнение прямой, перпендикулярной оси Оz. Направляющий вектор прямой перпендикулярен оси Оz, следовательно, и параллельная вектору прямая перпендикулярна этой же оси Оz. А – уравнение прямой, перпендикулярной плоскости Охz.