1. Плоскость

1.1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

П усть дана точка и ненулевой вектор (рис. 1.1). Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ перпендикулярно вектору (нормальный вектор плоскости).

Рассмотрим произвольную точку этой плоскости. Так как вектор лежит на плоскости, то он перпендикулярен вектору . Следовательно, их скалярное произведение равно нулю

(1.1)

или в координатной форме:

(1.2)

(1.2) – уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору .

Если в уравнении (1.1) в качестве нормального вектора плоскости взять единичный вектор , то получим так называемое нормальное уравнение плоскости

. (1.3)

1.2. Общее уравнение плоскости

Введя обозначение , уравнение (1.2) можно переписать в виде:

, (1.4)

которое называется общим уравнением плоскости.

Следовательно, каждая плоскость в пространстве может быть задана уравнением (1.4), т.е. уравнением первой степени относительно текущих координат.

Верно и обратное: пусть в уравнении (1.4) по крайней мере один из коэффициентов А, В, С не равен нулю. Предположим, что . Тогда уравнение (1.4) можно переписать следующим образом:

. (1.5)

Уравнение (1.5) равносильно уравнению (1.4). Сравнивая уравнение (1.5) с уравнением (1.2), видим, что оно, а следовательно и равносильное ему уравнение (1.4), является уравнением плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

Итак, всякое уравнение первой степени относительно текущих координат, т.е. всякое уравнение (1.4), определяет плоскость.

1.3. Неполные уравнения плоскости

Общее уравнение (1.4) называется полным, если все его коэффициенты А, В, С, D отличны от нуля. Если хотя бы один из коэффициентов равен нулю, то уравнение (1.4) называется неполным.

Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений.

1. D = 0; уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат (поскольку координаты точки удовлетворяют этому уравнению).

2. А = 0; уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ох (поскольку нормальный вектор этой плоскости перпендикулярен оси Ох). В = 0; уравнение определяет плоскость, параллельную оси Оу (поскольку нормальный вектор этой плоскости перпендикулярен оси Оу). С = 0; уравнение определяет плоскость, параллельную оси Оz (поскольку нормальный вектор этой плоскости перпендикулярен оси Оz).

3. А = 0, В = 0; уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскости хОу (так как эта плоскость параллельна осям Ох и Оу). А = 0, С = 0; уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскости хОz. B = 0, C = 0; уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскости yОz.

4. А = 0, В = 0, D = 0; уравнение определяет координатную плоскость хОу (так как эта плоскость параллельна координатной плоскости хОу и проходит через начало координат). А = 0, С = 0, D = 0; уравнение определяет координатную плоскость хОz. B = 0, C = 0, D = 0; уравнение определяет координатную плоскость yОz.

1.4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

П усть даны три точки , , , не принадлежащие одной прямой и, следовательно, определяющие плоскость, через них проходящую. Возьмем произвольную точку этой плоскости (рис. 1.2). Тогда векторы компланарны. Условие компланарности этих векторов имеет вид: или в координатной форме:

. (1.6)