7.3. Уравнения вида

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка вида

, (7.12)

относительно искомой функции , не содержащее независимой переменной ( ).

Чтобы решить уравнение (7.12) вводят новую функцию

, (7.13)

причем ее считают функцией аргумента !

Применяя теорему для производной сложной функции , найдем выражение для производной функции

. (7.14)

Итак, замена (7.13) и выражение (7.14) приводят уравнение (7.12) к следующему виду

. (7.15)

Уравнение (7.15) является дифференциальным уравнением первого порядка, в котором неизвестной функцией является функция «независимого» аргумента .

Найдя решение уравнения (7.15), находят искомое решение уравнения (7.12):

.

Пример 7.5. Найти частное решение уравнения

, (7.16)

удовлетворяющее условию .

Решение: Представленное уравнение имеет вид (7.12), в котором

.

1) Вводим функцию , определяемую равенством (7.13): , для которой . Уравнение (7.16) примет вид уравнения первого порядка с разделяющимися переменными относительно функции . Находим его общее решение:

.

Для определения константы воспользуемся условиями . В равенство подставляем , : , откуда = 0. Тогда получим выражение для функции в виде или .

2. Пользуясь равенством , теперь определим частное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющего условиям :

.

Определим теперь значение константы , воспользовавшись условием . Подставляя в равенство значения , получим = –2. Итак, решением задачи Коши является функция , если в явном виде, функция .

Ответ: , .

Лекция 6

8. Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами. Структура общего решения

Определение. Линейным дифференциальным уравнением n–го порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных вида:

где p₀, p₁, …,p_n – функции от х или постоянные величины, причем p₀  0.

Левую часть этого уравнения обозначим L(y).

.

Определение. Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным однородным уравнением, если f(x)  0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p₀, p₁, p₂, … p_n – постоянные числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами.

Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков, которое отличает их от нелинейных. Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл составляется из частных. Линейные уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков. Это объясняется сравнительной простотой нахождения решения. Если при решении каких – либо практических задач требуется решить нелинейное дифференциальное уравнение, то часто применяются приближенные методы, позволяющие заменить такое уравнение “близким” к нему линейным.

Рассмотрим способы интегрирования некоторых типов линейных дифференциальных уравнений высших порядков.

Рассмотрим уравнение вида

Определение. Выражение

называется линейным дифференциальным оператором.

Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойствами:

1)

2)

Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами:

1) Если функция у₁ является решением уравнения, то функция Су₁, где С – постоянное число, также является его решением.

2) Если функции у₁ и у₂ являются решениями уравнения, то у₁ +у₂ также является его решением.